基于原-对偶内点算法的股票投资组合分析——兼论Markowitz均值-方差模型的应用

２０１３年５月　第２９卷第３期　江苏教育学院学报（社会科学）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｓｏｃｉａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｍａｙ，２０１３　Ｖｏ１．２９　Ｎｏ．３　基于原一对偶内点算法的股票投资组合分析　——兼论Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型的应用　张　伟　（南京师范大学中北学院，江苏南京　２１００４６）　［摘资建议。　要］　首先对Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型进行了回顾，对Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型的求解给出了更为优化　的算法，即原一对偶内点算法，并利用优化后的算法模型对中国股票市场进行实证分析，得出对投资者更为有效的投　［关键词］　原一对偶内点算法；Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型；股票；投资组合　［中图分类号］Ｆ８３２．４８　［文献标识码］Ａ　［文章编号］　１６７１—１６９６（２０１３）０３—００７３—０４　一、引言　了“证券组合选择”的论文，可以视为现代证券组合　管理理论的开端。马科维茨对风险和收益进行了量　化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组　合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的　协方差矩阵，因此严重制约了其在实践中的应用。　投资者进行任何形式的投资，本质上是在不确　定性的收益和风险中进行选择，其中最重要的是投　资者能够提前预判可能存在的风险。现实中投资者　并非单一投资某一项证券，往往是进行组合投资。　经典的投资组合理论一般使用均值和方差来描述在　预测中最为关键的要素。均值是指投资组合的预期　收益率，是每只证券的期望收益率的加权平均，权重　多为相应的投资比例。方差是指投资组合的收益率　的方差。描述投资组合风险的指标可选用波动率，　即收益率的标准差。　投资者在证券投资决策中应该怎样选择收益和　风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问　题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化　投资组合。所谓理性投资者，是指他们在给定期望　风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期　望收益水平下对期望风险进行最小化。　１９５２年３月，美国经济学哈里・马科维茨发表　１９６３年，威廉・夏普提出了可以对协方差矩阵加以　简化估计的单因素模型，极大地推动了投资组合理　论的实际应用。２０世纪６０年代，夏普、林特和莫森　分别于１９６４、１９６５和１９６６年提出了资本资产定价模　型（ＣＡＰＭ）。该模型不仅提供了评价收益一风险相　互转换特征的可运作框架，也为投资组合分析、基金　绩效评价提供了重要的理论基础。１９７６年，针对　ＣＡＰＭ模型所存在的不可检验性的缺陷，罗斯提出了　一种替代性的资本资产定价模型，即ＡＰＴ模型。该　模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实　践上的广泛应用。　本文在后续的研究过程中主要采用了Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　均值一方差模型，因此在文章的第二部分我们将对　［基金项目］江苏省高校哲学社会科学研究基金项目“新农村建设背景下我国二元经济结构的破解之道”（项目编号：　２０１１ＳＪＢ７９０００８），江苏省社科联课题“江苏省收入分配结构调整研究”（项目编号：１２ＳＹＣ一００７）。　［收稿日期］２０１３—０１—１８　［作者简介］张伟（１９８１一），女，山东济宁人，南京师范大学中北学院讲师。　７３—　这一模型进行分析。　二、Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型的理　论回顾与价值分析　马科维茨经过大量观察和分析，认为若在具有　相同回报率的两个证券之间进行选择，任何投资者　都会选择风险较小者，这同时也表明投资者若要追　求高回报必定要承担高风险。同样，出于回避风险　的原因，投资者通常持有多样化投资组合。马科维　茨从对回报和风险的定量出发，系统地研究了投资　组合的特性，从数学上解释了投资者的避险行为，并　提出了投资组合的优化方法。　一个投资组合是由组成的各证券及其权重所确　定。因此，投资组合的期望回报率是其成分证券期　望回报率的加权平均。除了确定期望回报率外，估　计出投资组合相应的风险也是很重要的。投资组合　的风险是由其回报率的标准方差来定义的。这些统　计量是描述回报率围绕其平均值变化的程度，如果　变化剧烈则表明回报率有很大的不确定性，即风险　较大。　从投资组合方差的数学展开式中可以看到投资　组合的方差与各成分证券的方差、权重以及成分证　券问的协方差有关，而协方差与任意两只证券的相　关系数成正比。相关系数越小，其协方差就越小，投　资组合的总体风险也就越小。因此，选择不相关的　证券应是构建投资组合的目标。另外，由投资组合　方差的数学展开式可以得出：增加证券可以降低投　资组合的风险。　１９５２年美国经济学家、金融学家马科维茨在他　的开拓性论文“ＰｏｒｔｆｏｌｉｏＳｅｌｅｃｔｉｏｎ”中讨论了不确定经　济系统中最优资产组合的选择问题，将受益率的方　差作为风险的度量，建立一定收益率水平下风险最　小的投资组合模型，即以极小化方差为目标函数的　资产组合选择模型，称为均值一方差模型。这个模　型及其所蕴含的风险离散化思想是现代投资理论的　基础，也是整个现代金融理论的奠基石。　设有ｎ种资产可供选择，这ｎ种资产的收益率　分别为尺　，尺　，…，Ｒ　（随机变量），均值分别为，。，ｒ：，　…，　，协方差矩阵为Ｇ＝（　）…其中（　）…＝　ＣＯＹ（Ｒ　，尺　）是第ｉ种和第Ｊ．种资产收益率的协方差。　如果每种资产占总资产的比例为　，　，…，　，则资　产组合（或投资组合）的收益率为，Ｒ　＝Ｒ　＋Ｒ　＋…＋Ｒ　，均值和方差分别为Ｅ（ＲＰ）＝ｒ１　１＋Ｔ２Ｘ２　—７４一　＋…＋ｒ　，Ｄ（ＲＰ）＝　Ｇｘ，　其中　＝（　，　，…，Ｘ，ｎ）　。问题是如何确定每种　资产的比例，使资产组合的预期收益率达到一定水　平并使风险最小，其数学模型如下：　．１　Ｇｘ　ｍｌｎ—：－　ｓ・ｔ・ｒ１　ｌ＋ｒ２ｘ，２＋…＋ｒｎＸｎ＝ｒｐ　１＋　２＋…＋　ｎ＝１　１，　２，…，　ｎ　０　和经典模型相比，目标函数中的系数多了一个　÷，这是为了和标准形式的凸二次规划问题一致，计　二　算起来方便，而且这样并不会对算法结果产生实质　性的影响。其中的　是资产组合的预期收益率，应满　足ｒａｉｎ｛ｒ１，ｒ２，…，　｝　ｍａｘ｛ｒ１，ｒ２，…，ｒｎ｝。　若Ｒ　的　期观测值为ｒ　ｒ∞…，ｒ　则ｒ　的估计　１　值为寺　￣＝１Ｆｉｔ　，的估计值为　１　（　—ｔｉ）（ｒ』ｌ一０），　，　＝１　２一，ｎ・　三、模型的建立　我们在Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型的基础上，引　进新的算法来计算股票资产的预期收益，新建模型　如下：　凸二次规划的标准形式如下：　（Ｐ）　ｍｉｎ｛ｃ　＋　Ｑ　：Ａｘ＝ｂ，　０｝，　及其对偶问题　（Ｄ）ＩｎａＸ｛６　一　１　Ｑｘ．￣ｙ一　＋ｓ＝ｃ，ｓ≥０｝，　其中，Ａ∈Ｒ一（ｒａｎｋ（Ａ）＝ｍ），Ｑ∈Ｓ：＋（ｎ阶正　定矩阵），　，ｓ，ｃ∈Ｒ　而Ｙ，ｂ∈Ｒ　。不失一般性，总是　可假设存在原问题（Ｐ）和对偶问题（Ｄ）满足内点条　件，即：存在（　。，Ｙ。，Ｓ。），使得　Ａｘ＝ｂ，　。＞０，Ａｒｙ。一Ｑｘ。＋ｓ。＝ｃ，５。＞０．　成立。在上述假设下，原问题（Ｐ）和对偶问题　（Ｄ）的最优性条件为：　ｆａ　＝６，　≥０，　｛Ａｒｙ—Ｑｘ＋ｓ＝ｃ，ｓ≥０，　（１）　【　：０．　其中　ｓ＝（　１ｓｌ，　２ｓ２，…，ＸｎＳ　）。　内点算法的主要思想是用参数方程来替换方程　组（１）中的第三个方程，即考虑如下的方程组：　ｒＡｘ＝ｂ，　≥０，　因而，　（　）可以度量当前点与中心路径之间的　｛Ａｒｙ—Ｑｘ＋ｓ＝ｃ，ｓ≥０，　【　ｓ：肛ｅ，　（２）　距离。　用△　（　）来代替（５）式右端项Ｖ（Ｐ　（Ｖ），得到　新的方程组：　ｒ其中　＞０及ｅ＝（１，１…．，１）Ｔ．假设（　，ｙ，ｓ）　是当前解，应用牛顿法求解方程组（２）得：　ｆＡ　Ａ　＝６一Ａ　・　ＡＡｘ＝ｂ—Ａｘ，　　Ｉ｛【　Ａ　△ｙ—ＱＡｘ＋Ａｓ＝ｃ—Ａ　＋Ｑ　—ｓ，（１０）　△ｓ＋ｓＡ　：　（　）．　—　｛　△ｙ—ＱＡｘ＋△ｓ＝ｃ—Ａｒｙ＋Ｑ　—　，（３）　【　△ｓ＋　△　：　ｅ５．　该方程组具有唯一解（Ａｘ，Ａｙ，Ａｓ）．按照一定　该方程组具有唯一解（　（　），ｙ（ｇ），ｓ（ｇ）），当取　遍所有的正数　，给出一条同伦路径，我们称它为原　始问题（Ｐ）和对偶问题（Ｄ）的中心路径。当　一０　的规则，选取合适的步长Ｏｔ，即可得到新的迭代点　（　，Ｙ　，ｓ　）为：　（　，Ｙ　，ｓ　）＝（　，Ｙ，　）＋Ｏ／（Ａｘ，Ａｙ，Ａｓ）．　（１１）　时，中心路径的极限存在且满足内点条件，从而得到　原问题和对偶问题的近似最优解。　算法：　√詈・　则有　ｉｒＡａ　＝６一Ａ　・　选取任意点（　。，Ｙ。，ｓ。），且　（４）　碍校正参数ｅ（ｏ＜　＜１），。＞０和ｓ。＞０及　＝１；　步骤１：输入临界参数　＞１，精确参数　，确定障　步骤２：（外迭代）当ｎ／ｘ＞　时，令　：＝（１—　）　．转步骤３；否则，转步骤４；　｛ＡｒＡｙ—ＱＡｘ＋Ａｓ＝ｃ—Ａｒｙ＋Ｑｘ—ｓ，（５）　ｘＡｓ＋ｓａｘ＝一ｔｘｖＶｑ）　（Ｖ）．　步骤３：（内迭代）当　（　。，Ｙ。，ｓ。）＞丁时，求解方　程组（６）得到新的搜索方向，利用（７）得到新的迭代　点。重复进行这一过程，直到　（Ｘ。，Ｙ。，ｓ。）≤＇Ｔｏ转步　骤２；　其中实值函数　（　）（经典的障碍函数）定义如下：　（　）：＝∑（　本文考虑核函数　一ｌ。ｇＵｉ）．　∈［０＇１］　（６）　＞０．　（７）　步骤４：当ｎ／ｚ＜　时，终止。　）＝　＋　四、实证研究　我们选取沪深股市关系民生的银行、房地产、石　定义实值函数　（Ｖ）如下：　化、电信、航空、食品等行业的６只有代表性的股票：　中国银行、万科Ａ股、中国石化、中国联通、海南航　空、五粮液，考虑２０１１年７月至２０１２年６月之间２４　期每月的收盘价（数据来源于雅虎财经网站），容易　计算出每只股票的平均收益率和６只股票收益率的　协方差矩阵（见表１）。　（　）：＝∑ｑｂ（　），　∈尺：＋．　（８）　其中，　（．）由（７）给出，称为实值函数　（Ｖ）的　核函数。不难验证，　（　）是严格凸函数且当　＝ｅ时　取得极小值。则　△　（Ｖ）＝０营　（　）＝０甘　＝ｅ．　（９）　表１　中国银行等６只股票平均收益率及协方差矩阵　预期收益率ｒｎ在０．０２００—０．０６５０之间取值，间　隔为０．００５，基于算法１编制求解凸二次规划问题的　原一对偶内点算法（选取参数Ｐ＝１、ｑ＝３、　＝０．５、下　＝１０Ｉ６），可以求得收益率一定时风险最小的投资组　合（见表２）。　表２　中国银行等６只股票投资组合方案　基于表２计算的数据，在可供投资者选择的１Ｏ　偶内点算法对股票池进行组合计算，能够较好地为　种方案中，方案５是较好的选择。假设投资者预期　投资者提供操作建议，减少投资者风险。这一算法　率为４％，则在风险均为０．００８４下，方案５是方案　与Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ均值一方差模型是否能够更好的结合，　３～５中最优的选择（３个方案中风险相等，方案５收　值得继续深入的研究。　益最高）；如果投资者调整投资比例，则风险与收益　之间的变动会劣于方案５的４％与０．００８４。此外，我　［参考文献］　们比较１０种投资方案，随着预期收益率的提高，投　［１］Ｇ．Ｑ．Ｗａｎｇ，Ｙ．Ｑ．Ｂａｉ，Ｙ．Ｌｉｕ　ａｎｄ　Ｍ．Ｚｈａｎｇ．Ａ　ｎｅｗ　资组合的风险也在不断增大，而且收益率较低或不　ｐｒｉｍａｌ・－ｄｕａｌ　ｉｎｔｅｒｉｏｒ－－ｐｏｉｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｎｖｅｘ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　稳定的资产在各个方案中所占的比例都很小，这也　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｅｎｇｌｉｓｈ　与投资经济中的基本原理是一致的。　Ｅｄｉｔｉｏｎ），２００８（１２）．　［２］Ｒ．Ｄ．Ｃ　Ｍｏｎｔｅｉｒｏ，Ａｌｄｅｒ　Ｉ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒ—ｐａｔｈ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｐｒｉ—　五、结束语　ｍａｌ—ｄｕａｌ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ（Ｐａｒｔ　ＩＩ：Ｃｏｎｖｅｘ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍ—　一般情况下，我们认为人们是厌恶风险的，事实　ｍｉｎｇ）［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，１９８９（４４）．　上人们对于风险的态度和很多因素有关。而股票投　资者更多的却是追求风险，为了帮助投资者控制风　（责任编辑光翟）　险，在投资者股票选择组合过程中，通过引入原一对　（上接第７２页）须淡出我们的归纳视野而不予理睬。　的科学方科学归纳归纳法的阪依。它既体现了　逻辑蕴涵（一）不是任何归纳概率刻度的上限，事例　科学归纳法的经典作家的关于归纳思想的核心——　的反驳（不同于逻辑矛盾）也不是归纳概率刻度的下　等级思想，同时也适用于归纳逻辑工具的刻画。　限。拉卡托斯的科学分界标准对于逻辑重言式同样　是不屑一顾的，而对于事实的反驳同样表现出宽容　［参考文献］　性　实际上，科学史表明，如果一个理论一旦遇到反　［１］Ｉｍｒｅ　Ｌａｋａｔｏｓ．Ｆａｌｓｆｉｃａｔｉｏｎｉｓｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ　ｏｆ驳就必须被抛弃的观点是站不脚的；同样地，“一个　Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｅｒｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｃａｍ—　理论一旦遭到某个‘观察报告的’的反驳，其归纳支持　ｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９７０．　度就是０”的观点也是错误的。　『２］Ｌ．Ｊｏｎａｔｈａｎ　Ｃｏｈｅｎ．Ｔｈｅ　Ｐｒｏｂａｂｌｅ　ａｎｄ　Ｔｈｅ　Ｐｒｏｖａｂｌｅ　三、结语　［Ｍ］．Ｏｘｆｏｒｄ：Ｃｌａｒｅｎｄｏｎ　Ｐｒｅｓｓ，１９７７．Ｌ．Ｊｏｎａｔｈａｎ　Ｃｏ—　ｈｅｎ．Ｔｈｅ　Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ　ｏｆ　Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ［Ｍ］．　因此，本文得出这样的结论：无论是从柯恩的相　Ｏｘｆｏｒｄ：Ｃｌａｒｅｎｄｏｎ　Ｐｒｅｓｓ，１９８９．　关变量的角度为拉卡托斯的科学方的合理性辩　［３］Ｗ．Ｗｈｅｗｅｌ１．Ｔｈｅ　Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　护，还是从拉卡托斯的科学方角度为柯恩的合　［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｊ．Ｗ．Ｐａｒｋｅｒ，１８４７．　理性辩护，都说明了柯恩的相关变量法对于科学假　说的归纳逻辑刻度的刻画既是恰当的，也是具有其　（责任编辑光翟）　现实的应用价值。在一定意义上，可以说，拉卡托斯　７６一