九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛
版
九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版的全部内容。
1 / 61
九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛
版
一元二次方程的根与系数究竟有何关系
一、一元二次方程根与系数的关系
2
如果一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0）有两个实数根x1、x2，则x1＋x2＝－错误!，x1·x2＝错误!。
2
方法归纳：（1）如果方程x＋px＋q＝0的两个实数根是x1、x2，那么x1
＋x2＝－p，x1·x2＝q。
2
(2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0或（x－x1）（x－x2)＝0。
二、一元二次方程根与系数的关系的应用
（1)验根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。 方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：
222
（1）x1＋x2＝(x1＋x2）－2x1x2； (2）错误!＋错误!＝错误!;
（3）错误!＋错误!＝错误!＝错误!；
22
（4）（x1－x2）＝（x1＋x2）－4x1x2; （5）x1－x2＝±错误!＝±错误!。 总结：
1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围.
2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
例题1 已知方程x－2x－1＝0,则此方程（ ) A。 无实数根 B。 两根之和为－2 C. 两根之积为－1 D. 有一根为－1＋2
解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值;通过求根公式即可求得方程的根.
2
A. ＝(－2)－4×1×（－1)＝8＞0,则该方程有两个不相等的实数根。故本选项错误；B. 设该方程的两根分别是α、β，则α＋β＝2.即两根之和为2，故本选项错误；C. 设该方程的两根分别是α、β,则αβ＝－1。即两根之积为－1，故本选项正确;D。 根据求根公式x＝1±2可知,原方程的两根是(1＋2）和（1－错误!)，故本选项错误。故选C.
答案：C
点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示
2 / 62
2
九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛
版
的含义.
例题2 设x1、x2是方程x－x－2013＝0的两个实数根，求x1＋2014x2
－2013的值。
2222
解析：由原方程可知x＝x＋2013，x＝x－2013;x1＝x1＋2013，x1＝x1
－2013。由根与系数的关系可知x1＋x2＝1，根据以上关系代入求值即可。
222
答案：∵x－x－2013＝0，∴x＝x＋2013，x＝x－2013。
2
又∵x1、x2是方程x－x－2013＝0的两个实数根 ∴x1＋x2＝1
3
∴x1＋2014x2－2013
2
＝x1•x1＋2013x2＋x2－2013
＝x1•（x1＋2013）＋2013x2＋x2－2013
2
＝x1＋2013x1＋2013x2＋x2－2013
＝（x1＋2013)＋2013x1＋2013x2＋x2－2013 ＝x1＋x2＋2013（x1＋x2)＋2013－2013 ＝1＋2013 ＝2014 点拨：本题考查了根与系数的关系,对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。
23
利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二
2
次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x1、x2,则
（1）当≥0且x1x2＞0时，两根同号，即错误! （2）当＞0且x1x2＜0时，两根异号,即错误!
2
例题 如果关于x的方程x－px－q＝0（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）
A. 5个
B。 6个
2
C。 7个 D. 8个
解析：∵p、q是正整数,且＝p＋4q＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。又∵x1·x2＝－q＜0,∴此方程两根异号。这个方程的正根为错误!，即错误!＜3。解得q＜9－3p，其正整数解是:错误!、错误!、错误!、错误!、错误!、错误!、错误!。故选C.
答案:C
点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式⊿≥0,然后再依据x1x2和x1＋x2的正负情况进行判断。
（答题时间:30分钟)
一、选择题
2
1. 已知（x＋a）（x－b）＝x＋2x－1，则ab＝（ ）
3 / 63
九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛
版
A. －2 B。 －1 C. 1 D。 2
2
2。 已知一元二次方程x－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ） A。 2 B. 3 C. 4 D. 8
2
3。 已知m、n是关于x的一元二次方程x－3x＋a＝0的两个解，若（m－1)（n－1）＝－6，则a的值为（ ）
A. －10 B。 4 C。 －4 D。 10
2
＊4. 设x1、x2是方程x＋3x－3＝0的两个实数根，则错误!＋错误!的值为（ )
A. 5 B. －5 C。 1 D。 －1
2
＊5。 若m、n是方程x－2错误!x＋1＝0的两个实数根，则错误!－错误!的值是( )
A. ±2，5 B. ±4错误! C. ±6错误! D。 ±8错误!
22
＊＊6。 若方程x＋2px－3p－2＝0的两个不相等的实数根x1、x2满足x1
2
＋x1＝4－（x2＋x2），则实数p的可能的值为（ ）
A. 0或－1 B. 0 C。 0或－4 D。 －4
二、填空题
2
7. 若x1＝－1是关于x的方程x＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝__________。
2
8。 已知关于x的一元二次方程x－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α＋3）（β＋3）＝__________。
22
＊9。 已知实数a、b不相等，并且a＋1＝5a,b＋1＝5b,则错误!＋错误!＝__________.
2
＊＊10。 已知关于x的方程x－(a＋b）x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的
2222
两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x1＋x2＜a＋b。则正确的结论是__________。（填上你认为正确结论的所有序号)
三、解答题
2
11。 已知关于x的方程x＋x＋n＝0有两个实数根－2、m.求m、n的值。
22
*12。 已知α、β是关于x的一元二次方程x＋(2m＋3）x＋m＝0的两个不相等的实数根，且满足错误!＋错误!＝－1，试求m的值。
23
＊＊13。 已知α、β是方程x＋2x－1＝0的两个实数根，试求α＋5β＋10的值。
22
＊＊14。 已知关于x的一元二次方程x－（2k＋1)x＋k＋2k＝0有两个实数根x1、x2。
（1)求实数k的取值范围；
22
（2)是否存在实数k使得x1·x2－x1－x2≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。
22
＊*15. 已知关于x的方程x－2mx＝－m＋2x的两个实数根x1、x2满足︱x1︱＝x2,求实数m的值.
4 /
九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛
版
一、选择题
1。 C 解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可.
2. C 解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x1＋2＝6，所以x1＝4，即方程的另一根为4。 3. C 解析：根据题意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，故选C。
＊4。 B 解析:由题意可知x1＋x2＝－3,x1x2＝－3,∴＋错误!＝错误!＝
错误!＝－5。
x2x1
＊5. D 解析：由已知得m＋n＝2错误!，mn＝1，则（m－n）＝（m＋n）
2
－4mn＝（2错误!)－4＝16，∴m－n＝±4。∴错误!－错误!＝错误!＝错误!＝±8错误!.
2
＊*6. B 解析:∵原方程有两个不相等的实数根，∴＝（2p）＋4（3p22
＋2)＞0，即p＋3p＋2＞0，且x1＋x2＝－2p，x1x2＝－3p－2.又∵x1＋x1＝4
2222
－（x2＋x2），即x1＋x2＋x1＋x2＝4，∴（x1＋x2）－2x1x2＋（x1＋x2）＝4，
22
即（－2p）＋2（3p＋2）－2p＝4，∴4p＋4p＝0，解得p＝0或－1。当p＝0时＞0，当p＝－1时＝0(舍去)，所以p的可能的值为0。
22
二、填空题
7。 5 解析：由x1x2＝－5且x1＝－1，得x2＝5。 8. 9 解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3）（β＋3）＝αβ＋3（α＋β）＋9＝－3＋3×1＋9＝9。
222
＊9. 23 解析:∵a、b满足a＋1＝5a，b＋1＝5b，即a、b是x＋1＝5x2
的两个实数根，整理此方程为x－5x＋1＝0，根据根与系数的关系可知a＋b＝5，ab＝1。∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝23。
22
**10。 ①② 解析：①∵方程x－（a＋b）x＋ab－1＝0中，＝(a＋b)
2
－4（ab－1）＝（a－b)＋4＞0，∴x1≠x2,故①正确；②∵x1x2＝ab－1＜ab,
222
故②正确;③∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝ab－1，∴x1＋x2＝（x1＋x2）－2x1x2＝
222222222
（a＋b）－2ab＋2＝a＋b＋2＞a＋b,即x1＋x2＞a＋b。故③错误；综上所述，正确结论的序号是:①②.
三、解答题
2
11. 解:∵关于x的方程x＋x＋n＝0有两个实数根－2、m，∴错误!，解得错误!，即m、n的值分别是1、－2。
2
＊12。 解：根据条件知：α＋β＝－（2m＋3）,αβ＝m，∴错误!＋错误!
2
＝错误!＝错误!＝－1,即m－2m－3＝0，所以有错误!,解得m＝3.
2232
**13。 解：∵α是方程x＋2x－1＝0的根，∴α＝1－2α。∴α＝a·a2
＝(1－2α）α＝α－2α＝α－2(1－2α）＝5α－2，又∵α＋β＝－2，
3
∴α＋5β＋10＝（5α－2）＋5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5×（－2）＋8＝－2。
5 / 65
九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛
版
*＊14。 解:（1）∵原方程有两个实数根，＝[－（2k＋1)]－4（k＋2k）22
＝4k＋4k＋1－4k－8k＝1－4k≥0,∴k≤错误!。∴当k≤错误!时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立。理由如下：∵x1、x2是原方程的两个实数根，∴x1＋x2＝2k＋1,x1·x2＝k2＋2k。由x1·x2－x12
2222
－x2≥0得3x1·x2－（x1＋x2）≥0。∴3（k＋2k）－（2k＋1）≥0，整理
12
得:（k－1）≤0，∴只有当k＝1时,上式成立。又∵由(1）知k≤，∴不存4
22
在实数k使得x1·x2－x1－x2≥0成立。
22
＊*15。 解:原方程可变形为:x－2(m＋1）x＋m＝0,∵x1、x2是方程的两个
122
实数根，∴≥0，即4（m＋1）－4m≥0,∴8m＋4≥0，m≥－.又x1、x2满
2
足︱x1︱＝x2，∴x1＝x2或x1＝－x2,即＝0或＞0且x1＋x2＝0，由＝0，
1
即8m＋4＝0，得m＝－。由x1＋x2＝0,即2(m＋1）＝0,得m＝－1（不合题
2
意，舍去)。∴当︱x1︱＝x2时,m的值为－错误!。
22
6 / 66