概率统计测验试卷及答案
一、 填空题〔每题 4 分，共 20分〕 1. 设 X
~ P ( )
P ( X ,且
1) P ( X
2) ,那P ( X
3) _________
.
___
么
2. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x )
1 4
1 3
A 1 e 1 2
x
,( x
) ,那A
么
B )
_____
3. P( A ) 4. 随机变量
fY ( y )
, P ( B | A ) , P( A | B )
P , 那么 ( A
Y
X ~ U (0,1),
量
那么随机变
2 ln X
的密度函数
___
DY
2
5. DX 设随机变量 X 与 Y 彼此，且
, 那么 D( 2 X
4Y )
____
二、 计算以下各题 (每题 8分，共 40 分〕 1. 设随机变量 X 的概率密度为
Y=2X,求 E(Y), D(Y).
2. 两封信随机地投入标号为 I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰 好投入 1 封信的概率。
3. 设 X,Y 是两个彼此的随机变量， X 在(0,1)上从命均匀分布，
y
f ( x )
e 0,
x
, x x
0 0
1
Y 的概率密度为
a
2
fY ( y)
2
e
2
, y y
0 0
求含有 a 的二次方 程
0,
2 Xa Y
0 有实根的概率。
2
4. 假设 X 1 , , X 9 是来自总体 X ~ N ( 0,2 ) 的简单随机样本，求系数
a ( X 1
X 2 )
2
a,b,c 使 Q
2
b( X 3 X 4 X 5 )
2
c( X 6 X 7 X 8 X 9 )
2
从命 分布，并求其自由度。
5. 某车间出产滚珠，从持久实践知道，滚珠直径
X 从命正态分布。
从某天产物里随机抽取 6 个，测得直径为 〔单元： 毫米〕14.6, 15.1, 假设总体方差 区间(
0 05
. , z
/ 2
2
0.06 , 求总体均值 的置信
1 96 . )
三、〔14 分〕设 X,Y 彼此，其概率密度函数别离为
f X ( x )
1,0 0,
x
f Y ( y ) ， 其他
1
e 0,
y
, y y
0 0
求 X+Y 的概率密度
6x
( 0,
x),
0
x 其它
四、〔14 分〕设 X
~ f ( x )
3
且 X 1 , ,
, X
n
是总体 X
的简单随机样本，求 (1) 的矩估计量 ，(2)
D ( )
五、(12 分)据以往经验， 某种电器元件的寿命从命均值为 100小时的 指数分布，现随机地取 16 只，设它们的寿命是彼此的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。 (
( 0.8 )
0 .7881
)
普通本科概率统计期末测验试卷答案：
一、填空题〔每题 4 2
1、 e ；
3
4 分，共 20 分〕
1 3、 ；
3
1 4、 2
e
y / 2
2、 1；
, y y
0 0
； 5、20
2
0,
二、计算以下各题〔每题 1、解： EY
2 xf ( x)dx 2 xe xdx
0
2
2
8 分，共 40 分〕
。。。。。。。。。。。。。。。。。。2 分
2
。。。。。。。。。。。。。。。。。。4 分
D (Y ) E (Y )
2
x
E (Y )
4 x e dx
4
E (Y )
2
。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。8 分
2、解： P
C 2 3 4 4
3 8
1
。。。。。。。。。。。。。。。。4 分
。。。。。。。。。。。。。。。。8 分
3、解：有题意知， X 的概率密度为
1 , 0 x 0,
1
f X ( x )
其 他
。。。。。。。。。。。。。。。2 分
于是 ( X , Y ) 的联合概率密度为
1
1
f ( x ,y ) f X x(
)fY y (
) 2
y
e
2
, 0 x 其 他
1y, 0
。。。。。。。。。。4 分
0,
于是原方程有实根的概率即为
P{ 4 X
2
4Y 0 } P {Y X }
2
f ( x, y) dxdy
G
1 0
x
2
dx
1 2
1
y
0
e
2
dy 。。。。。。。。。。。。。。6 分
1 2 ( (1) 0.5)
2
。。。。。。。。。。。。。8 分
4、解：因为 X 1 , , X 9 为来自于总体 X 1
～ N (0,2 ) 的简单样本，故有
X
2
X 2 ~ N (0, 2 2 ) ， X 3
X 5
X 6
X 7
X 4
X ~ N (0, 3 2 ) ，
5 2
2
X 8 ~ N (0, 4 2 )
。。。。。。。。。。2 分
于是有
X 1 X 2 8
~ N (0,1) ，
X 3 X 4 12
X
5
~ N (0,1) ，
X 5 X 6 X 7 16
X
8
~ N (0,1)
。。。。。。。4 分
2 2 2
X 1 X 2 8
X 3 X 4 12
X 5 X 5 X 6 X 7 16
X
8
~
2
(3)
。。6 分
所以 a
1 8
， b
2
1 12
， c
1 16
X ，显然
。。。。。。8 分
5、解：因 ，统计量取为
X / n
由尺度分布的上
分位点的定义，有
X /
n
~ N (0,1)
。。。。。2 分
P z
/ 2
1
即
P X
n
z/ 2 X
n
z/ 2
1 。。。。。4 分
于是 的置信区间为
(X
n
z / 2 , X
n
z
/ 2
)
又
X
1 6
0.05, z / 2
1.96, n
6,
15.1) 。。。。6 分 。。。。。8 分
所以 的置信区间 [14.75, 15.15]
三、解：因 X , Y 彼此，故
e y , 0 x
f (x ,y ) fX x(
)fY y ( )
0,
其 他
1 y,
0
。。。。。。。。。。4 分
于是有
F Z ( z)
P{ X
Y
Z }
G
f ( x, y) dxdy
。。。。。。。。。。。。。6 分
当 z 当 0
0 时， F Z ( z)
0 ；
z
z x
y
z
.。。。。。。。。。。。。8 分
1 ；
。。。。。。。。。。10 分
z 1 时， FZ ( z)
0
dx
0
e dy z e
1 z x
当 z 1 时， FZ ( z) 0
dx
0
e y
dy
1 e
z
e
1 z
； 所以
e
1 z
e z
,
z 1 fZ ( z)
1 e z
, 0
z
1
0,
其 他
四、解：〔1〕因 E ( X )
xf ( x) dx
0
x 6 x
3
( x )dx 1 2
所以
?
2 X
2
1 n
X n
i
i 1
〔2〕 D ( ?)
4 n
D ( X 4 n
2
2
i )
[ E ( X n
2
i )
E ( X i )]
i 1
n
2
i 1
4 2
6 x
2
n
2
(
0
x
3
( x) dx
1 ) 4
2 2
5n 2
5n
五、解：记 X 为元件寿命，由题意知：
X ~ e( ) ，于是有
E ( X ) ， D ( X )
2
又 E ( X ) 100 ，故
100 。
由同分布的中心极限定理知：
1 6
1 6
1 6
X i
E (
X i )
X i
16 100
近 似 地
i 1
i 1 i
1
16
N (0,1) D (
X 100
~
i )
16 i 1
于是有
16
P{
X i
1920}
i 1
16
X i
16 100
P{
i 1
1920 1600
16 100
400
} 。。。。。。。。。。12 分
。。。。。。。。。。14 分
。。。。。。。。。。2 分 。。。。。。。。。4 分
。。。。。。。。7 分
。。。。。。。9 分
。。。。。。。11分
。。。。。。。14 分
。。。。。。。。。。 2 分 。。。。。。。。。。4 分
。。。。。。。。。。。6 分
。。。。。。。。。。。8 分
。16
X i
1 P{
i 1
1600
0.8}
。。。。。。。。。。。 10 分
400
1
( 0 . 8 )
0 . 2 1
。。。。。。。。。。。 12 分