一、选择题（本大题共10小题，共20.0分） 1. 计算5+(−3)，结果正确的是( )
A. 2 B. −2 C. 8 D. −8
2. 如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图
是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算结果正确的是( )
A. (𝑎3)3=𝑎6 C. (𝑎𝑏4)2=𝑎𝑏8
B. 𝑎6÷𝑎3=𝑎2
D. (𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2
4. 在平面直角坐标系中，点𝐴(2,3)关于𝑦轴对称的点的坐标是( )
A. (−2,−3) B. (−2,3) C. (2,−3) D. (−3,−2)
5. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
年龄/岁 人数 11 3 12 4 13 7 14 2 15 2 则该足球队队员年龄的众数是( )
A. 15岁 B. 14岁 C. 13岁 D. 7人
6. 不等式2𝑥+1>3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. C.
B. D.
∠𝐴=30°，𝐸分别是直角边𝐴𝐶、7. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、
𝐵𝐶的中点，连接𝐷𝐸，则∠𝐶𝐸𝐷的度数是( )
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A. 70° B. 60° C. 30° D. 20°
8. 在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=−𝑥+1的图象是( )
A.
B.
C.
D.
9. 下列说法正确的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B. 如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖 C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，𝑆甲=2.5，𝑆乙=8.7，则乙组数据较稳定 D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
10. 如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度𝑃𝑇(𝑃𝑇与河岸𝑃𝑄垂直)，测量得
𝑃，𝑄两点间距离为𝑚米，∠𝑃𝑄𝑇=𝛼，则河宽𝑃𝑇的长为( )
2
2
A. 𝑚𝑠𝑖𝑛𝛼
B. 𝑚𝑐𝑜𝑠𝛼 C. 𝑚𝑡𝑎𝑛𝛼
D. tan𝛼
𝑚
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 因式分解：𝑎𝑦2+6𝑎𝑦+9𝑎=______． 𝑥+2𝑦=5
12. 二元一次方程组{的解是______．
𝑦=2𝑥
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13. 化简：(1−
1
𝑥+1
)⋅
𝑥2−1𝑥
=______．
⏜的长是______(14. 如图，边长为4的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，则𝐴𝐵
结果保留𝜋)．
15. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐶𝐷在𝑥轴上，点𝐵在
𝑦轴上，反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象经过第一象限点𝐴，且▱𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为6，则𝑘=______．
16. 如图，将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，折痕为𝑀𝑁，点𝑀，𝑁分别
在边𝐴𝐷，𝐵𝐶上，点𝐶，𝐷的对应点分别为点𝐸，𝐹，且点𝐹在矩形内部，𝑀𝐹的延长线交边𝐵𝐶于点𝐺，𝐸𝐹交边𝐵𝐶于点𝐻.𝐸𝑁=2，𝐴𝐵=4，当点𝐻为𝐺𝑁的三等分点时，𝑀𝐷的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分） 17. 计算：√12−3𝑡𝑎𝑛30°+(2)−2+|√3−2|．
18. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老
师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是______；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
19. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，分别以点𝐴，𝐷为圆心，大于2𝐴𝐷的
𝑁，作直线𝑀𝑁，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝐴𝐶于点𝐸，𝑂，𝐹，长为半径作弧，两弧交于点𝑀，连接𝐷𝐸，𝐷𝐹．
(1)由作图可知，直线𝑀𝑁是线段𝐴𝐷的______． (2)求证：四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是菱形．
1
1𝑘
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20. 某校积极落实“双减”，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱
𝐴(综合模型)、𝐵(摄好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：影艺术)、𝐶(音乐鉴赏)、𝐷(劳动实践)，随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生人数为______名； (2)直接在答题卡中补全条形统计图；
(3)求拓展课程𝐷(劳动实践)所对应的扇形的圆心角的度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢𝐶(音乐鉴赏)拓展课程．
21. 如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架𝐴𝐵𝐶𝐷，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成的矩形框架𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为144平方厘米，则𝐴𝐵的长为多少厘米？ (2)矩形框架𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值为______平方厘米．
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22. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐴𝐷是⊙𝑂的直径，𝐴𝐷，𝐵𝐶的延长线交于点𝐸，延
长𝐶𝐵交𝑃𝐴于点𝑃，∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐷𝐶𝐸=90°． (1)求证：𝑃𝐴是⊙𝑂的切线；
(2)连接𝐴𝐶，sin∠𝐵𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=2，𝐴𝐷的长为______．
1
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交
于点𝐵(0,9)，与直线𝑂𝐶交于点𝐶(8,3)． (1)求直线𝐴𝐵的函数表达式；
(2)过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，将△𝐴𝐶𝐷沿射线𝐶𝐵平移得到的三角形记为△𝐴′𝐶′𝐷′，点𝐴，𝐶，𝐷的对应点分别为𝐴′，𝐶′，𝐷′，若△𝐴′𝐶′𝐷′与△𝐵𝑂𝐶重叠部分的面积为𝑆，平移的距离𝐶𝐶′=𝑚，当点𝐴′与点𝐵重合时停止运动．
①若直线𝐶′𝐷′交直线𝑂𝐶于点𝐸，则线段𝐶′𝐸的长为______(用含有𝑚的代数式表示)；②当0<𝑚<③当𝑆=
245
103
时，𝑆与𝑚的关系式为______；
时，𝑚的值为______．
24. 【特例感知】
(1)如图1，△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷是等腰直角三角形，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°，点𝐶在𝑂𝐴上，点𝐷在𝐵𝑂的延长线上，连接𝐴𝐷，𝐵𝐶，线段𝐴𝐷与𝐵𝐶的数量关系是______； 【类比迁移】
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(2)如图2，将图1中的△𝐶𝑂𝐷绕着点𝑂顺时针旋转𝛼(0°<𝛼<90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】
(3)如图3，若𝐴𝐵=8，点𝐶是线段𝐴𝐵外一动点，𝐴𝐶=3√3，连接𝐵𝐶． ①若将𝐶𝐵绕点𝐶逆时针旋转90°得到𝐶𝐷，连接𝐴𝐷，则𝐴𝐷的最大值是______； ②若以𝐵𝐶为斜边作𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷(𝐵,𝐶,𝐷三点按顺时针排列)，∠𝐶𝐷𝐵=90°，连接𝐴𝐷，当∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=30°时，直接写出𝐴𝐷的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3经过点𝐵(6,0)和点𝐷(4,−3)，
与𝑥轴的另一个交点为𝐴，与𝑦轴交于点𝐶，作直线𝐴𝐷． (1)①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线𝐴𝐷的函数表达式；
(2)点𝐸是直线𝐴𝐷下方的抛物线上一点，连接𝐵𝐸交𝐴𝐷于点𝐹，连接𝐵𝐷，𝐷𝐸，△𝐵𝐷𝐹的面积记为𝑆1，△𝐷𝐸𝐹的面积记为𝑆2，当𝑆1=2𝑆2时，求点𝐸的坐标；
(3)点𝐺为抛物线的顶点，将抛物线图象中𝑥轴下方的部分沿𝑥轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为𝐶1，点𝐶的对应点为𝐶′，点𝐺的对应点为𝐺′，将曲线𝐶1沿𝑦轴向下平移𝑛个单位长度(0<𝑛<6).曲线𝐶1与直线𝐵𝐶的公共点中，选两个公共点记作点𝑃和点𝑄，若四边形𝐶′𝐺′𝑄𝑃是平行四边形，直接写出点𝑃的坐标．
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答案解析
1.【答案】𝐴
【解析】解：5+(−3)=2， 故选：𝐴．
根据有理数异号相加法则即可处理．
本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．
2.【答案】𝐷
【解析】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形， 故选：𝐷．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．
3.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.(𝑎3)3=𝑎9，因此选项A不符合题意； B.𝑎6÷𝑎3=𝑎6−3=𝑎3，因此选项B 不符合题意； C.(𝑎𝑏4)2=𝑎2𝑏8，因此选项C不符合题意； D.(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2，因此选项D符合题意； 故选：𝐷．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式逐项进行计算即可． 本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法，同底数幂的除法的计算法则以及完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．
4.【答案】𝐵
【解析】解：点𝐴(2,3)关于𝑦轴的对称点坐标为(−2,3)． 故选：𝐵．
根据“关于𝑦轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于𝑥轴、𝑦轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： (1)关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于𝑦轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
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(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5.【答案】𝐶
【解析】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁． 故选：𝐶．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．
6.【答案】𝐵
【解析】解：不等式2𝑥+1>3的解集为：𝑥>1， 故选：𝐵．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
7.【答案】𝐵
【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°， 则∠𝐵=90°−∠𝐴=60°， ∵𝐷、𝐸分别是边𝐴𝐶、𝐵𝐶的中点， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐵=60°， 故选：𝐵．
根据直角三角形的性质求出∠𝐵，根据三角形中位线定理得到𝐷𝐸//𝐴𝐵，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
8.【答案】𝐶
【解析】解：一次函数𝑦=−𝑥+1中，令𝑥=0，则𝑦=1；令𝑦=0，则𝑥=1， ∴一次函数𝑦=𝑥+1的图象经过点(0,1)和(1,0)，
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∴一次函数𝑦=𝑥+1的图象经过一、二、四象限， 故选：𝐶．
依据一次函数𝑦=𝑥+1的图象经过点(0,1)和(1,0)，即可得到一次函数𝑦=−𝑥+1的图象经过一、二、四象限．
本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
9.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴.了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；
B.如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
22
C.若甲、乙两组数据的平均数相同，𝑆甲=2.5，𝑆乙=8.7，则甲组数据较稳定，因此选
项C不符合题意；
D.“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合题意； 故选：𝐴．
根据抽样调查与全面调查的定义，概率以及方差的定义逐项进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，方差以及随机事件、不可能事件、必然事件，理解全面调查与抽样调查的方法，方差的意义以及随机事件、不可能事件、必然事件的定义是正确判断的前提．
10.【答案】𝐶
【解析】解：由题意得： 𝑃𝑇⊥𝑃𝑄， ∴∠𝐴𝑃𝑄=90°，
在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝑄中，𝑃𝑄=𝑚米，∠𝑃𝑄𝑇=𝛼， ∴𝑃𝑇=𝑃𝑄⋅𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑚𝑡𝑎𝑛𝛼(米)， ∴河宽𝑃𝑇的长度是𝑚𝑡𝑎𝑛𝛼米， 故选：𝐶．
根据垂直定义可得𝑃𝑇⊥𝑃𝑄，然后在𝑅𝑡△𝑃𝑄𝑇中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
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本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】𝑎(𝑦+3)2
【解析】解：𝑎𝑦2+6𝑎𝑦+9𝑎 =𝑎(𝑦2+6𝑦+9) =𝑎(𝑦+3)2． 故答案为：𝑎(𝑦+3)2．
首先提取公因式𝑎，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
12.【答案】{𝑦=4
【解析】解：{
𝑥+2𝑦=5①
，
𝑦=2𝑥②
𝑥=2
将②代入①，得𝑥+4𝑥=10， 解得𝑥=2，
将𝑥=2代入②，得𝑦=4， 𝑥=2
∴方程组的解为{，
𝑦=4𝑥=2
故答案为：{．
𝑦=4
用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
13.【答案】𝑥−1
【解析】解：(1−=
𝑥+1−1(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥+1𝑥
1𝑥+1
)⋅
𝑥2−1𝑥
⋅
𝑥
=𝑥+1⋅
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥
=𝑥−1， 故答案为：𝑥−1．
先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
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14.【答案】√2𝜋
【解析】解：连接𝑂𝐴、𝑂𝐵．
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐷𝐶=𝐴𝐷， ⏜=𝐵𝐶⏜=𝐶𝐷⏜=𝐴𝐷⏜， ∴𝐴𝐵
∴∠𝐴𝑂𝐵=4×360°=90°，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，由勾股定理得：2𝐴𝑂2=42， 解得：𝐴𝑂=2√2， ⏜的长=∴𝐴𝐵
90⋅𝜋⋅2√2
1801
=√2𝜋，
故答案为：√2𝜋.
连接𝑂𝐴、𝑂𝐵，可证∠𝐴𝑂𝐵=90°，根据勾股定理求出𝐴𝑂，根据弧长公式求出即可． 本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠𝐴𝑂𝐵的度数和𝑂𝐴的长是解此题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于𝐸，如图，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝑥轴，
∴四边形𝐴𝐵𝑂𝐸为矩形，
∴𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐸=6， ∴|𝑘|=6， 而𝑘>0， ∴𝑘=6． 故答案为：6．
作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于𝐸，由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形得𝐴𝐵//𝑥轴，则可判断四边形𝐴𝐵𝑂𝐸为矩
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形，所以𝑆平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐸，根据反比例函数𝑘的几何意义得到𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐸=|−𝑘|，利用反比例函数图象得到．
本题考查了反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)系数𝑘的几何意义：从反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)图象上任意一点向𝑥轴和𝑦轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|𝑘|． 𝑘
𝑘
16.【答案】2√13−4或4
【解析】解：当𝐻𝑁=1
3𝐺𝑁时，𝐺𝐻=2𝐻𝑁， ∵将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，折痕为𝑀𝑁，
∴𝑀𝐹=𝑀𝐷，𝐶𝑁=𝐸𝑁，∠𝐸=∠𝐶=∠𝐷=∠𝑀𝐹𝐸=90°，∠𝐷𝑀𝑁=∠𝐺𝑀𝑁，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐺𝐹𝐻=90°，∠𝐷𝑀𝑁=∠𝑀𝑁𝐺， ∴∠𝐺𝑀𝑁=∠𝑀𝑁𝐺， ∴𝑀𝐺=𝑁𝐺，
∵∠𝐺𝐹𝐻=∠𝐸=90°，∠𝐹𝐻𝐺=∠𝐸𝐻𝑁， ∴△𝐹𝐺𝐻∽△𝐸𝑁𝐻， ∴
𝐹𝐺𝐺𝐻𝐸𝑁
=
𝐻𝑁
=2，
∴𝐹𝐺=2𝐸𝑁=4，
过点𝐺作𝐺𝑃⊥𝐴𝐷于点𝑃，则𝑃𝐺=𝐴𝐵=4， 设𝑀𝐷=𝑀𝐹=𝑥， 则𝑀𝐺=𝐺𝑁=𝑥+4， ∴𝐶𝐺=𝑥+6， ∴𝑃𝑀=6，
∵𝐺𝑃2+𝑃𝑀2=𝑀𝐺2， ∴42+62=(𝑥+4)2， 解得：𝑥=2√13−4， ∴𝑀𝐷=2√13−4；
当𝐺𝐻=1
3𝐺𝑁时，𝐻𝑁=2𝐺𝐻， ∵△𝐹𝐺𝐻∽△𝐸𝑁𝐻， ∴𝐹𝐺
𝐺𝐻
1𝐸𝑁=𝐻𝑁=2， ∴𝐹𝐺=1
2𝐸𝑁=1，
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∴𝑀𝐺=𝐺𝑁=𝑥+1， ∴𝐶𝐺=𝑥+3， ∴𝑃𝑀=3，
∵𝐺𝑃2+𝑃𝑀2=𝑀𝐺2， ∴42+32=(𝑥+1)2， 解得：𝑥=4， ∴𝑀𝐷=4；
故答案为：2√13−4或4．
根据点𝐻为𝐺𝑁三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠𝐺𝑀𝑁=∠𝑀𝑁𝐺，得到𝑀𝐺=𝑁𝐺，证明△𝐹𝐺𝐻∽△𝐸𝑁𝐻，求出𝐹𝐺的长，过点𝐺作𝐺𝑃⊥𝐴𝐷于点𝑃，则𝑃𝐺=𝐴𝐵=4，设𝑀𝐷=𝑀𝐹=𝑥，根据勾股定理列方程求出𝑥即可． 本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
317.【答案】解：原式=2√3−3×√+4+2−√3 3
=2√3−√3+4+2−√3 =6．
【解析】先计算开方运算、特殊三角函数值、负整数指数幂的运算及绝对值的运算，再合并即可．
此题考查的是实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角形函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：(1)由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是4． 故答案为：4． (2)画树状图如下：
1
1
1
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共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种， ∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为12=6． (1)根据概率公式求解即可．
(2)画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果数，再结合概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
2
1
19.【答案】垂直平分线
【解析】(1)解：根据作法可知：𝑀𝑁是线段𝐴𝐷的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线；
(2)证明：∵𝑀𝑁是𝐴𝐷的垂直平分线， ∴𝐴𝐹=𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐷𝐸， ∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐹𝐷𝐴， ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐹𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷， ∴𝐷𝐹//𝐴𝐵， 同理𝐷𝐸//𝐴𝐹，
∴四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形， ∵𝐹𝐴=𝐸𝐷，
∴四边形𝐴𝐸𝐷𝐹为菱形．
(1)根据作法得到𝑀𝑁是线段𝐴𝐷的垂直平分线；
(2)根据垂直平分线的性质则𝐴𝐹=𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐷𝐸，进而得出𝐷𝐹//𝐴𝐵，同理𝐷𝐸//𝐴𝐹，于是可判断四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形，加上𝐹𝐴=𝐸𝐷，则可判断四边形𝐴𝐸𝐷𝐹为菱形． 本题考查了作图−基本作图以及菱形的判定方法，熟知线段垂直平分线的作法是解答此
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题的关键．
20.【答案】120
【解析】解：(1)此次被调查的学生人数为：12÷10%=120(名)， 故答案为：120；
(2)选择𝐵的学生有：120−12−48−24=36(名)， 补全的条形统计图如图所示；
(3)360°×120=72°，
即拓展课程𝐷(劳动实践)所对应的扇形的圆心角的度数是72°； (3)800×120=320(名)，
答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢𝐶(音乐鉴赏)拓展课程． (1)根据选择𝐴的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
(2)根据条形统计图中的数据，即可计算出选择𝐵的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(3)用360°乘以𝐷(劳动实践)所占比例可得答案； (4)用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
48
24
21.【答案】150
【解析】解：(1)设框架的长𝐴𝐷为𝑥𝑐𝑚，则宽𝐴𝐵为∴𝑥⋅
60−2𝑥3
60−2𝑥3
𝑐𝑚，
=144，
解得𝑥=12或𝑥=18， ∴𝐴𝐵=12𝑐𝑚或𝐴𝐵=18𝑐𝑚， ∴𝐴𝐵的长为12厘米或18厘米；
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(2)由(1)知，框架的长𝐴𝐷为𝑥𝑐𝑚，则宽𝐴𝐵为∴𝑆=𝑥⋅
2
60−2𝑥3
2
2
60−2𝑥3
𝑐𝑚，
，即𝑆=−3𝑥2+20𝑥=−3(𝑥−15)2+150，
∵−3<0，
∴要使框架的面积最大，则𝑥=15，此时𝐴𝐵=10，最大为150平方厘米． 故答案为：150．
(1)设框架的长𝐴𝐷为𝑥𝑐𝑚，则宽𝐴𝐵为即可；
(2)在(1)的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
60−2𝑥3
𝑐𝑚，根据面积公式列出二元一次方程，解之
22.【答案】6
【解析】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是⊙𝑂的内接四边形， ∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=180°， ∵∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐸=180°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐸， ∵∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐷𝐶𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴∠𝑂𝐴𝑃=90°， ∵𝑂𝐴是⊙𝑂的半径， ∴𝑃𝐴是圆𝑂的切线；
(2)连接𝐵𝑂并延长交⊙𝑂于点𝐹，连接𝐶𝐹，
∵𝐵𝐹是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐵𝐶𝐹=90°， ∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐹， ∴sin∠𝐵𝐴𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐹=3，
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1
在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐹中，𝐵𝐶=2， ∴𝐵𝐹=
𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐹
=
2
13
=6，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐹=6， 故答案为：6．
(1)根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐸，然后根据已知可得∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐵𝐴𝐷=90°，从而可得∠𝑂𝐴𝑃=90°，即可解答；
(2)连接𝐵𝑂并延长交⊙𝑂于点𝐹，连接𝐶𝐹，根据直径所对的圆周角是直角可得∠𝐵𝐶𝐹=90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得sin∠𝐵𝐴𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐹=3，最后在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐹中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25√15
或15−√ 23.【答案】10𝑚 25𝑚2 15−35
9
9
1
【解析】解：(1)将点𝐵(0,9)，𝐶(8,3)的坐标代入直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏， ∴{
𝑏=9
，
8𝑘+𝑏=3𝑘=−𝑏=9
34．
3
解得{
∴直线𝐴𝐵的函数表达式为：𝑦=−4𝑥+9；
(2)①由(1)知直线𝐴𝐵的函数表达式为：𝑦=−4𝑥+9， 令𝑦=0，则𝑥=12， ∴𝐴(12,0)，
∴𝑂𝐴=12，𝑂𝐵=9， ∴𝐴𝐵=15；
如图1，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐶′𝐷′于点𝐹， ∴𝐶𝐹//𝑂𝐴， ∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐹𝐶𝐶′， ∵∠𝐶′𝐹𝐶=∠𝐵𝑂𝐴=90°， ∴△𝐶𝐹𝐶′∽△𝐴𝑂𝐵，
∴𝑂𝐵：𝑂𝐴：𝐴𝐵=𝐶′𝐹：𝐶𝐹：𝐶𝐶′=9：12：15，
3
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∵𝐶𝐶′=𝑚，
∴𝐶𝐹=𝑚，𝐶′𝐹=𝑚，
5
5
4
3
∴𝐶′(8−𝑚,3+𝑚)，𝐴′(12−𝑚,𝑚)，𝐷′(8−𝑚,𝑚)，
555555∵𝐶(8,3)，
∴直线𝑂𝐶的解析式为：𝑦=8𝑥， ∴𝐸(8−5𝑚,3−10𝑚)． ∴𝐶′𝐸=3+𝑚−(3−
53
310
4
3
3
434343
𝑚)=
910
𝑚.
故答案为：10𝑚.
②当点𝐷′落在直线𝑂𝐶上时，有5𝑚=
3
3
9
(8−5𝑚)， 8
解得𝑚=
103
4
，
103
∴当0<𝑚<
1
时，点𝐷′未到直线𝑂𝐶，
1
9
4
9
此时𝑆=2𝐶′𝐸⋅𝐶𝐹=2⋅10𝑚⋅5𝑚=25𝑚2； 故答案为：25𝑚2． ③分情况讨论， 当0<𝑚<
9
109
时，由②可知，𝑆=25𝑚2； 3
24
9
令𝑆=25𝑚2=
10
，解得𝑚=5
2√30
3
>
103
(舍)或𝑚=−
2√30
(舍)； 3
当3≤𝑚<5时，如图2，设线段𝐴′𝐷′与直线𝑂𝐶交于点𝑀， ∴𝑀(𝑚,𝑚)， 55
∴𝐷′𝐸=5𝑚−(3−10𝑚)=10𝑚−3， 𝐷′𝑀=5𝑚−(8−5𝑚)=
9
1
9
8
4
125
3
3
9
8
3
𝑚−8；
12
∴𝑆=25𝑚2−2⋅(10𝑚−3)⋅(5𝑚−8) =−25𝑚2+令−25𝑚2+
1818
365365
𝑚−12， 𝑚−12=
245
；
第19页，共25页
整理得，3𝑚2−30𝑚+70=0， 解得𝑚=
15−√15
3
或𝑚=
15+√15
3
>5(舍)；
当5≤𝑚<10时，如图3，
𝑆=𝑆△𝐴′𝐶′𝐷′=2×4×3=6≠当10≤𝑚<15时，如图4， 此时𝐴′𝐵=15−𝑚，
∴𝐵𝑁=5(15−𝑚)，𝐴′𝑁=5(15−𝑚)， ∴𝑆=⋅(15−𝑚)⋅(15−𝑚)=
2
5
5
625
1
3
4
3
4
1
245
，不符合题意；
(15−𝑚)2，
6
245
令25(15−𝑚)2=
，解得𝑚=15+
2√5>15(舍)或𝑚=15−2√5． 故答案为：
15−√15
3
或15−2√5．
(1)将点𝐵(0,9)，𝐶(8,3)的坐标代入直线解析式，求解即可；
(2)①过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐶′𝐷′，易得△𝐶𝐹𝐶′∽△𝐴𝑂𝐵，可用𝑚表达𝐶𝐹和𝐶′𝐹的长度，进而可表达点𝐶′，𝐷′的坐标，由点𝐶的坐标可得出直线𝑂𝐶的解析式，代入可得点𝐸的坐标； ②根据题意可知，当0<𝑚<本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0<𝑚<
10
103
时，点𝐷′未到直线𝑂𝐶上，利用三角形面积公式可得出
时，当3<𝑚<5时，当5<𝑚<10时，当10<3
245
10
𝑚<15时，𝑆与𝑚的关系式，分别令𝑆=
，建立方程，求出𝑚即可．
本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△𝐴′𝐶′𝐷′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．
24.【答案】𝐴𝐷=𝐵𝐶 8+3√6
【解析】解：(1)𝐴𝐷=𝐵𝐶.理由如下：
如图1，∵△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷是等腰直角三角形，∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°，
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∴𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝐷=𝑂𝐶， 在△𝐴𝑂𝐷和△𝐵𝑂𝐶中， 𝑂𝐴=𝑂𝐵
{∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐶=90°， 𝑂𝐷=𝑂𝐶
∴△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，
故答案为：𝐴𝐷=𝐵𝐶； (2)𝐴𝐷=𝐵𝐶仍然成立．
证明：如图2，∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°， ∴∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐶𝑂𝐷=90°+𝛼， 即∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐷， 在△𝐴𝑂𝐷和△𝐵𝑂𝐶中， 𝑂𝐴=𝑂𝐵
{∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐶， 𝑂𝐷=𝑂𝐶
∴△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶；
𝐴𝐷，𝐷𝑇，𝐵𝐷， 使𝐴𝑇=𝐴𝐵，连接𝐵𝑇，(3)①过点𝐴作𝐴𝑇⊥𝐴𝐵，
∵△𝐴𝐵𝑇和△𝐶𝐵𝐷都是等腰直角三角形，
∴𝐵𝑇=√2𝐴𝐵，𝐵𝐷=√2𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝑇=∠𝐶𝐵𝐷=45°， ∴𝐴𝐵=
𝐵𝑇
𝐵𝐷𝐵𝐶
=√2，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑇𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝑇𝐵𝐷， ∴
𝐷𝑇𝐴𝐶
=
𝐵𝑇𝐴𝐵
=√2，
∴𝐷𝑇=√2𝐴𝐶=√2×3√3=3√6， ∵𝐴𝑇=𝐴𝐵=8，𝐷𝑇=3√6，
∴点𝐷的运动轨迹是以𝑇为圆心，3√6为半径的圆， ∴当𝐷在𝐴𝑇的延长线上时，𝐴𝐷的值最大，最大值为8+3√6，
故答案为：8+3√6；
②如图4，在𝐴𝐵上方作∠𝐴𝐵𝑇=30°，过点𝐴作𝐴𝑇⊥𝐵𝑇于点𝑇，连接𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐷𝑇，过点𝑇作𝑇𝐻⊥𝐴𝐷于点𝐻， ∵𝐴𝐵=
𝐵𝑇
𝐵𝐷𝐵𝐶
=𝑐𝑜𝑠30°=
√3
，∠𝐴𝐵𝐶2
=∠𝑇𝐵𝐷=30°+∠𝑇𝐵𝐶，
第21页，共25页
∴△𝐵𝐴𝐶∽△𝐵𝑇𝐷， ∴
𝐷𝑇𝐴𝐶
=
𝐵𝐷𝐵𝐶
=
√3， 2
∴𝐷𝑇=
√3𝐴𝐶2
=
√32
×3√3=，
2
9
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑇中，𝐴𝑇=𝐴𝐵⋅sin∠𝐴𝐵𝑇=8𝑠𝑖𝑛30°=4， ∵∠𝐵𝐴𝑇=90°−30°=60°，
∴∠𝑇𝐴𝐻=∠𝐵𝐴𝑇−∠𝐷𝐴𝐵=60°−30°=30°， ∵𝑇𝐻⊥𝐴𝐷，
∴𝑇𝐻=𝐴𝑇⋅sin∠𝑇𝐴𝐻=4𝑠𝑖𝑛30°=2，𝐴𝐻=𝐴𝑇⋅cos∠𝑇𝐴𝐻=4𝑐𝑜𝑠30°=2√3， 在𝑅𝑡△𝐷𝑇𝐻中，𝐷𝐻=√𝐷𝑇2−𝑇𝐻2=√()2−22=√，
2
2
9
65∴𝐴𝐷=𝐴𝐻+𝐷𝐻=2√3+
√65． 2
(1)证明△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐶(𝑆𝐴𝑆)，即可得出结论；
(2)利用旋转性质可证得∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐷，再证明△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐶(𝑆𝐴𝑆)，即可得出结论； (3)①过点𝐴作𝐴𝑇⊥𝐴𝐵，使𝐴𝑇=𝐴𝐵，连接𝐵𝑇，𝐴𝐷，𝐷𝑇，𝐵𝐷，先证得△𝐴𝐵𝐶∽△𝑇𝐵𝐷，得出𝐷𝑇=3√6，即点𝐷的运动轨迹是以𝑇为圆心，3√6为半径的圆，当𝐷在𝐴𝑇的延长线上时，𝐴𝐷的值最大，最大值为8+3√6；
②如图4，在𝐴𝐵上方作∠𝐴𝐵𝑇=30°，过点𝐴作𝐴𝑇⊥𝐵𝑇于点𝑇，连接𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐷𝑇，过点𝑇作𝑇𝐻⊥𝐴𝐷于点𝐻，可证得△𝐵𝐴𝐶∽△𝐵𝑇𝐷，得出𝐷𝑇=√𝐴𝐶=√×3√3=，再求222出𝐷𝐻、𝐴𝐻，即可求得𝐴𝐷．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．
339
25.【答案】解：(1)①∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3经过点𝐵(6,0)和点𝐷(4,−3)，
∴{
36𝑎+6𝑏−3=0
，
16𝑎+4𝑏−3=−3
1
𝑎=4
解得：{，
𝑏=−1
∴抛物线的函数表达式为𝑦=4𝑥2−𝑥−3； ②由①得𝑦=4𝑥2−𝑥−3， 当𝑦=0时，4𝑥2−𝑥−3=0， 解得：𝑥1=6，𝑥2=−2，
第22页，共25页
11
1
∴𝐴(−2,0)，
−2𝑘+𝑑=0
设直线𝐴𝐷的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑑，则{，
4𝑘+𝑑=−3𝑘=−
2， 解得：{
𝑑=−1
∴直线𝐴𝐷的函数表达式为𝑦=−2𝑥−1；
(2)设点𝐸(𝑡,4𝑡2−𝑡−3)，𝐹(𝑥,𝑦)，过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝑥轴于点𝑁，如图1， ∵𝑆1=2𝑆2，即𝑆∴∴
𝐵𝐹𝐸𝐹𝐵𝐹𝐵𝐸
𝑆△𝐵𝐷𝐹
△𝐷𝐸𝐹
1
1
1
=2，
=2， =， 3
2
∵𝐸𝑀⊥𝑥轴，𝐹𝑁⊥𝑥轴， ∴𝐸𝑀//𝐹𝑁， ∴△𝐵𝐹𝑁∽△𝐵𝐸𝑀， ∴
𝐵𝑁𝐵𝑀
=
𝐹𝑁𝐸𝑀
=
𝐵𝐹
=， 𝐵𝐸3
1
1
2
∵𝐵𝑀=6−𝑡，𝐸𝑀=−(4𝑡2−𝑡−3)=−4𝑡2+𝑡+3， ∴𝐵𝑁=3(6−𝑡)，𝐹𝑁=3(−4𝑡2+𝑡+3)，
∴𝑥=𝑂𝐵−𝐵𝑁=6−(6−𝑡)=2+𝑡，𝑦=−(−𝑡2+𝑡+3)=𝑡2−𝑡−2，
333463∴𝐹(2+𝑡,𝑡2−𝑡−2)，
3
6
3
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
∵点𝐹在直线𝐴𝐷上，
∴6𝑡2−3𝑡−2=−2(2+3𝑡)−1， 解得：𝑡1=0，𝑡2=2， ∴𝐸(0,−3)或(2,−4)；
(3)∵𝑦=4𝑥2−𝑥−3=4(𝑥−2)2−4， ∴顶点坐标为𝐺(2,−4)，
当𝑥=0时，𝑦=3，即点𝐶 (0,−3)， ∴点𝐶′(0,3)，𝐺′(2,4)，
∴向上翻折部分的图象解析式为𝑦=−4(𝑥−2)2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为𝑦=−4(𝑥−2)2+4−𝑛，平移后抛物线剩下部分
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1
1
1
1
1
2
1
2
的解析式为𝑦=4(𝑥−2)2−4−𝑛， 设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘′𝑥+𝑑′(𝑘′≠0)， 6𝑘′+𝑑′=0
把点𝐵(6,0)，𝐶(0,−3)代入得：{，
𝑑′=−3𝑘′=
2， 解得：{
𝑑′=−3
∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=2𝑥−3， 同理直线𝐶′𝐺′的解析式为𝑦=2𝑥+3， ∴𝐵𝐶//𝐶′𝐺′，
设点𝑃的坐标为(𝑠,2𝑠−3)， ∵点𝐶′(0,3)，𝐺′(2,4)，
∴点𝐶′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点𝐺′， ∵四边形𝐶′𝐺′𝑄𝑃是平行四边形， ∴点𝑄(𝑠+2,2𝑠−2)，
当点𝑃，𝑄均在向上翻折部分平移后的图象上时， −(𝑠−2)2+4−𝑛=𝑠−3
2
则{4， 112
−(𝑠+2−2)−4−𝑛=𝑠−2
4
2
1
1
1
1
11
1
1
𝑠=0
(不符合题意，舍去)， 解得：{
𝑛=6
当点𝑃在向上翻折部分平移后的图象上，点𝑄在平移后抛物线剩下部分的图象上时， −4(𝑠−2)2+4−𝑛=2𝑠−3则{1， 12
(𝑠+2−2)−4−𝑛=2𝑠−24
解得：{𝑠=1+√17或{𝑠=1−√17(不合题意，舍去)， 𝑛=0𝑛=0
当点𝑃在平移后抛物线剩下部分的图象上，点𝑄在向上翻折部分平移后的图象上时， (𝑠−2)2−4−𝑛=2𝑠−34
则{1， 12
−(𝑠+2−2)+4−𝑛=𝑠−2
4
2
1
1
1
1
𝑠=1−√13𝑠=1+√13(不合题意，舍去)， 解得：{或{
𝑛=√13𝑛=−√13综上所述，点𝑃的坐标为(1−√13,−5+√132
).
【解析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线𝐴𝐷的解析式；
(2)设点𝐸(𝑡,4𝑡2−𝑡−3)，𝐹(𝑥,𝑦)，过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝑥轴于点𝑁，如图1，根据三角形面积关系可得𝐵𝐸=3，由𝐸𝑀//𝐹𝑁，可得△𝐵𝐹𝑁∽△𝐵𝐸𝑀，得出𝐵𝑀=
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𝐵𝐹
2
𝐵𝑁
1
2
==𝐹(2+𝑡,𝑡−3𝑡−2)，，可求得代入直线𝐴𝐷的解析式即可求得点𝐸的坐标； 𝐸𝑀𝐵𝐸336
𝐹𝑁𝐵𝐹2212
(3)根据题意可得：𝐺′(2,4)，点𝐶′(0,3)，向上翻折部分的图象解析式为𝑦=−4(𝑥−2)2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为𝑦=−4(𝑥−2)2+4−𝑛，平移后抛物线剩下部分的解析式为𝑦=4(𝑥−2)2−4−𝑛，利用待定系数法可得：直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=2𝑥−3，直线𝐶′𝐺′的解析式为𝑦=2𝑥+3，由四边形𝐶′𝐺′𝑄𝑃是平行四边形，分类讨论即可． 本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移、翻折变换等，利用数形结合思想解答是解题的关键．
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