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数学物理方法复习大纲复变函数部分

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第一章 复变函数

掌握复数的运算、可导的必要条件、解析函数实部及虚部的求解（参考课后习题，填空）

第二章 复变函数的积分

掌握柯西定理、柯西公式基本概念，（填空）

第三章 幂级数的展开

幂级数的收敛半径、收敛圆；复函数的泰勒展开及洛朗展开（参考教材习题与课件，填空）

第四章 留数定理

留数的计算、利用留数定理计算三种类型积分（计算题）

第五章 傅立叶变换

傅立叶级数展开、傅立叶变换性质、δ函数的性质（填空）

第六章 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质（填空）及应用（计算题）

例题：（不仅限于）

1. 复数

e1 i

的模为

e

，主辐角为

2

1

弧度。

复数

ln(

)

ln

4

(

2

k

1 )

(

k

0 ,

1 ,

2 ,

)

。


复数

i

e

i

(

4

k

3

)/

4


2.若解析函数

f

(

z

)

u

(

x

,

y

)

iv

(

x

,

y

)

的实部

u

(

x

,

y

)

x

2

y

2

xy

，则虚部

v

(

x

,

y

)

(

x

2

y 2

)

/

2

2

xy

c

，若

u

(

x

,

y

)

x

y

，则实部为

x

y

c

。








3. 已知，为任一回路，n 为任一整数，α 不在l 上，则

l

(

z

)

n dz

2πi

(n =-1 且l包含α)或者0(其它情况) 。

4.

2009
2008

[sinx

(

x


)

6

] dx

-1/2 。

5、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？

解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的

函数相等。

无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。



6、奇点分为几类？如何判别？

在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。

判别方法：洛朗级数展开法
A，先找出函数f(z)的奇点；
B，把函数在的环域作洛朗展开
1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；
2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；
3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。

7.

f

(

z

)

1

/[(

z

2 )(

z

3 )]

在

2

z

|

3

可展开为洛朗级数：

f

(

z

)


n0

[

2

n

z

(

n

1 )

3

(

n

1 )

z

n

]


8、求幂级数


k1

1

(

z

i

)

k

的收敛半径

k

R

lim k


a k

a

k

1



lim k


1
k

1

k

1



lim k


k

1


k


1

所以收敛圆为

z

i

1

9、求函数

(

z

z

2 )

2

在奇点的留数

1 )(

z

解：

奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2

Re

sf

( 1 )

lim z1



(

z

1 )

(

z

z

2 )




1
















1 )(

z

2


lim



1


1

Re

sf




)

lim z2

1

d



(

z

2 )

2

(

z


z

2 )

\

(

2

1 !

dz


1 )(

z

2




z

2




(

z

1 )

2






10、求回路积分

1

cos

z

dz

z

3




解：

f

(z

)

有三阶奇点z=0（在积分路径内）

z

2

1

Re

sf

\

(

0

)

lim z0

1

d

2



z

3

cosz



limcosz

z0

-

1

2 !

dz

2

z

3

2

原积分=

2

Re

sf

(

0 )

2(

1

)

2


11、计算实变函数定积分




x

2

1
dx

1

x

4

解：

f

(

z

)

z

2

1



z

2

( 1

i

)





z

2

( 1

z

4

1

i

)





z

2

( 1

i

)





z

2

( 1

i

)



2

2

2

2

它具有4 个单极点：只有z=

2

( 1

i

)

和z=

2

( 1

i

)

在上半平面，其留数分别为：

2

2

Re

sf

\

(

(

2

1

i

))

lim z0





z

2

( 1

i

)





z

z

2

1

i

)





z

2

( 1

i

)





2

1

2

( 1

2 i

2

2

2

Re

sf

\

(

2

( 1

i

))

lim z0





z

2

( 1

i

)





z

z

2

1

i

)





z

2

( 1

i

)





2

1

2

( 1

2 i

2



2

2

2

I

2(

2

1

2

1

)

2

2 i

2 i

12、傅立叶变换公式及其性质

拉普拉斯变化性质及其应用

A ()

1



f

()

cosd


B

()

1



f

()

sin

d






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