苏教版数学八年级下册《期中测试卷》及答案

期 中 测 试 卷

一、选择题：

1. 在平面直角坐标系中，点P(1,3)关于y轴对称点的坐标为（ ） A. (1 ,3 )

B. ( -1 , -3 )

C. ( -1 ,3)

D. ( 1 , -3 )

2. 下列给出的条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB∥CD,AD=BC C. AB=AD,CB=CD

B. ∠B=∠C, ∠A=∠D D. AB=CD,AD=BC

3. 若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形

B. 矩形

C. 正方形

D. 菱形

4. 解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（ ） A. x23

2B. x23

2C. x25

2D. x25

25. 一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ） A. x=1

B. x=2

C. x1=1，x2=2 D. x1=﹣1，x2=﹣2

6. 对于函数y=2x﹣1，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象过点（1，0） C. 当y＞0时，x＞1

B. y值随着x值增大而减小 D. 它的图象不经过第二象限

7. 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5,的方差是2，那么数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2，3x5+2方差是（ ） A. 2

B. 6

C. 8

D. 18

8. 已知直线ym3x3m1不经过第一象限，则m的取值范围是x（ ）． A. m1 3B. m1 3C.

1m3 3D.

1m3 39. 如图,四边形ABCD是正方形,直线l1,l2,l3分别通过A,B,C三点,且l1∥l2∥l3,若l1与l2的距离为5,l2与l3的距离为7,则正方形ABCD的面积等于( )

A. 70 B. 74 C. 144 D. 148

10. 如图，在等腰△ABC中，ACB90，AC8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持ADCE,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE114或其中正确的结论个数是 33

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

11. 函数y=1中，自变量x取值范围是____． x212. 数据1，2，3，4，5的方差是______.

13. 已知□ABCD中，若∠B +∠D＝200°，则∠A的度数为________.

14. 点(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，(1，y3)都在直线y=﹣3x+b上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．

15. 如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．

16. 如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为_____．

的17. 关于x方程kx2 - 2x + 1=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是_________.

18. 已知A（-1，1）,B（1，1）,在直线y = - x+4上找一点P，使PA+PB最小，则点P坐标为_______.

三、解答题

19. 解方程

（1）x22x30 （2）x (x-2) = 3(2-x)

20. 已知，直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1

（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标； （2）求两直线交点C的坐标； （3）求△ABC的面积．

.的

21. 如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，证：四边形AECF是平行四边形

.

22. 某市为了节约生活用水，计划制定每位居民统一的月用水量标准，然后根据标准，实行分段收费．为此，对居民上年度的月均用水量进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了上年度月均用水量的频数分布直方图(图中分组含最低值，不含最高值)，请根据图中信息解答下列问题：

(1)本次调查的居民人数为__________人；

(2)本次调查居民月均用水量的中位数落在频数分布直方图中的第__________小组内(从左至右数)； (3)当地希望让85%左右居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，根据上述调查结果，你认为月用水量标准(取整数)定为多少吨时较为合适？

23. 已知□ABCD中，A（1，3）, B（2，-1）, C（5，-5） （1）D的坐标为____________.

（2）若经过原点的一条直线平分□ABCD的面积，求此直线的解析式

24. 规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如y-2x（1）填空：一次函数y1x4与它的互助一次函数的交点坐标为______ 45（2）若两个一次函数y=（k-b）x – k - 2b与yk3x3k是互助一次函数，求两函数图象与y轴围

2成的三角形的面积．

25. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

的

11和yx2就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：

33（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD对应的函数解析式．

（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求货车从甲地出发后多长时间再与轿车相遇（结果精确到0.01）．

26. 2018雾霾天气趋于严重，某商场根据民众健康需要，从厂家购进了A，B两种型号空气净化器，如果

销售15台A型和10台B型空气净化器的利润为6000元，销售10台A型和15台B型空气净化器的利润为6500元．

（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润；

（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共160台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器x台，这160台空气净化器的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；

②该公司购进A型、B型空气净化器各多少台时，才能使销售总利润最大？ 27. 如图，y直线l1：

34y轴交于A、B两点，yxbx4分别与x轴、点C为x轴上任意一点，直线l2：

43经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE．

(1)当点C的坐标为(2,0)时，①求直线l2的函数表达式；②求证：AE平分BAC；

(2)问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6,0)、B(0,2)两点，动点C在线段OA上（不与O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转90得到CD，当点D恰好落在直线AB上时，过点D作DEx轴于点E.

（1）求证，BOCCED；

（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得BCD，当直线BC经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；

（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由.

答案与解析

一、选择题：

1. 在平面直角坐标系中，点P(1,3)关于y轴对称点的坐标为（ ） A. (1 ,3 ) 【答案】A 【解析】 【分析】

,关于x轴的对称点的坐标是,关于y轴的对称点的坐标是. 根据平面直角坐标系中任意一点P（x,y）（x,-y）（-x,y）【详解】解：点P（x,y）,关于y轴对称点的坐标P′（-x,y）, 所以点P（-1,3）关于y轴对称的点的坐标为（1,3）． 故答案为:A．

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的对称性质,解决本题的关键是要熟练掌握点关于y轴对称的特征. 2. 下列给出的条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB∥CD,AD=BC C. AB=AD,CB=CD 【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、∵AB∥CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形或梯形；故本选项错误； B、由∠B=∠C，∠A=∠D，不能四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误； C、由AB=AD，CB=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形； 故本选项错误； D、∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项正确． 故选：D．

【点睛】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是关键．

3. 若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 【答案】B 【解析】

试题解析：∵OA=OB=OC=OD，

B. 矩形

C. 正方形

D. 菱形

B. ∠B=∠C, ∠A=∠D D. AB=CD,AD=BC

B. ( -1 , -3 )

C. ( -1 ,3)

D. ( 1 , -3 )

∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形.

故选B.

4. 解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（ ） A. x23 【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】∵x2+4x-1=0， ∴x2+4x+4=5， ∴（x+2）2=5， 故选C．

【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法． 5. 一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ） A. x=1 【答案】C 【解析】 【分析】

利用因式分解法解方程即可．

【详解】x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2． 故选C．

【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 6. 对于函数y=2x﹣1，下列说法正确是（ ） A. 它的图象过点（1，0） C. 当y＞0时，x＞1

B. y值随着x值增大而减小 D. 它的图象不经过第二象限

B. x=2

C. x1=1，x2=2 D. x1=﹣1，x2=﹣2

2B. x23

2C. x25

2D. x25

2【答案】D 【解析】

试题解析：解：A．把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，0），故本选项错误；

B．函数y=2x﹣1中，k=2＞0，则该函数图象y值随着x值增大而增大，故本选项错误； C．当y＞0时，2x﹣1＞0，则x＞0.5，故本选项错误．

D．函数y=2x﹣1中，k=2＞0，b=﹣1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故本选项正确； 故选D．

点睛：本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．

7. 已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5,的方差是2，那么数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2，3x5+2方差是（ ） A. 2 【答案】D 【解析】 【分析】

此类题目还主要考查了方差的性质:

B. 6

C. 8

D. 18

、xn 的方差是S,那么: 如果数据x1、x2、、xnb 的方差仍是S (b是常数); (1)一组新数据x1b、x2b、、axn ax1、ax2、……、axn的方差是a2S, (a是常数); (2)一组新数据ax1、ax2、、axnb 的方差是a2S. (3)一组新数据ax1b、ax2b、【详解】解：∵一组数据x1,x2,x3,x4,x5,的方差是2

∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2，3x5+2方差是322=18 故答案为D

【点睛】本题考查了数据变化使得方差变化的知识，掌握方差变化规律是解题的关键. 8. 已知直线ym3x3m1不经过第一象限，则m的取值范围是x（ ）． A. m1 3B. m1 3C.

1m3 3D.

1m3 3【答案】D 【解析】

试题解析：∵直线y(m3)x3m1不经过第一象限，则有：

m301解得：m3． 33m10故选D．

9. 如图,四边形ABCD是正方形,直线l1,l2,l3分别通过A,B,C三点,且l1∥l2∥l3,若l1与l2的距离为5,l2与l3的距离为7,则正方形ABCD的面积等于( )

A. 70 【答案】B 【解析】

B. 74 C. 144 D. 148

试题分析：首先过点B和点D作垂线，构成大的正方形，然后利用大正方形的面积减去四个直角三角形的12－5×7÷2×4=144－70=74. 面积得出答案.12×考点：平行线的性质

10. 如图，在等腰△ABC中，ACB90，AC8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持ADCE,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE114或其中正确的结论个数是 33

A. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 2个 C. 3个 D. 4个

连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．

【详解】

连接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB； ∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF(SAS)； ∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90∘， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘， 又∵EF=DF

∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).

当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误). 由于△DEF等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF∴DE2DF42 (故(3)错误).

∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△ADF

∴S四边形CDFE=S△AFC,

∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分 ∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1

即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1 当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=又∵S△ADF=

1AD42AD 2是11116S△ACF=84 33231BC4 . 216 38∴AD=(故(4)错误).

3∴2AD=故选A.

【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.

二、填空题

11. 函数y=1中，自变量x取值范围是____． x2【答案】x2． 【解析】

试题分析：由已知：x-2≠0，解得x≠2； 考点：自变量的取值范围．

12. 数据1，2，3，4，5的方差是______. 【答案】2 【解析】 【分析】

根据方差的公式计算．方差S21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]． n1【详解】解：数据1，2，3，4，5的平均数为(12345)3，

51222222故其方差S[(33)(13)(23)(43)(53)]2．

5故答案为2．

的【点睛】本题考查方差的计算．一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为x，则方差

1S2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，

n反之也成立．

13. 已知□ABCD中，若∠B +∠D＝200°，则∠A的度数为________. 【答案】80°【解析】 【分析】

根据平行四边形对角相等，邻角互补，进而得出∠A的度数．

【详解】解：∵平行四边形ABCD中， ∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°， ∵∠B+∠D=200°， ∴∠B=∠D=100°， ∴∠A的度数是80°． 故答案为80°．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

14. 点(﹣2，y1)，(﹣1，y2)，(1，y3)都在直线y=﹣3x+b上，则y1，y2，y3的大小关系是_____． 【答案】y1＞y2＞y3 【解析】 【分析】

【详解】在直线y=﹣3x+b中， ∵k=﹣3＜0，

∴y随x的增大而减小， ∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y1＞y2＞y3，

15. 如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．

【答案】AC=BD． 【解析】

试题分析：添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形． 试题解析：添加的条件应为：AC=BD．

证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=可得EH=

11AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理221BD， 2则HG∥EF且HG=EF，

∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH， ∴四边形EFGH为菱形．

考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．

16. 如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为_____．

【答案】x＞﹣2 【解析】 【分析】

根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集． 【详解】解：由题意及图象得： 不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．

17. 关于x的方程kx2 - 2x + 1=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是_________. 【答案】k1且k0 【解析】 【分析】

利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判别式计算即可. 【详解】解：∵关于x的方程kx2 - 2x + 1=0有两个实数根

2=（-2）-4k10 ∴k0解得：k1且k0 故答案为k1且k0

【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．

18. 已知A（-1，1）,B（1，1）,在直线y = - x+4上找一点P，使PA+PB最小，则点P坐标为_______. 【答案】P(,) 【解析】 【分析】

先找B点关于直线y = - x+4即为所求P点坐标.

【详解】解：B（1，1）关于直线y = - x+4的对称点B（3，3） 设直线AB 的函数解析式：y=kx+b

对称点B ,求出直线AB 的函数解析式，求出AB与直线y = - x+4的交点，

5733把A（-1，1）、B（3，3）代入y=kx+b得：

1=-k+b 3=3k+b1k=2 解得3b2∴y13x 2213yx联立解析式得：22

yx45x3 解得：y73∴P(,) 故答案为P(,)

的57335733【点睛】本题考查了一次函数以及线段和最小，利用对称性找到点关于直线的对称点，联立解析式求出交点坐标，是解题的关键.

三、解答题

19. 解方程

（1）x22x30 （2）x (x-2) = 3(2-x)

【答案】（1）x13,x21 (2) x12,x2-3 【解析】 【分析】

(1)十字相乘的方法解题, （2）移项,提公因式即可解题. 【详解】解：（1）（x+3）（x-1）=0

x13,x21

(2) x (x-2) + 3(x-2)=0 (x-2)(x+3)=0

x12,x2-3

【点睛】本题考查了用因式分解的方法求解一元二次方程,属于简单题,熟练掌握十字相乘,提公因式的方法是解题关键.

20. 已知，直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1.

（1）求两直线与y轴交点A，B（2）求两直线交点C的坐标； （3）求△ABC的面积．

的坐标；

【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）； （2）点C的坐标为（-1，1）；

（3）S△ABC= 2. 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建方程组确定交点坐标即可；

（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，根据S△ABC=

1AB•CD计算即可. 2【详解】（1）在y=2x+3中，当x=0时，y=3，即A（0，3）； 在y=-2x-1中，当x=0时，y=-1，即B（0，-1）；

y2x3（2）依题意，得，

y2x1解得x1；

y1∴点C的坐标为（-1，1）；

（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D；

∴CD=1；

∵AB=3-（-1）=4； ∴S△ABC=

11AB•CD=×4×1=2. 22【点睛】本题考查两条直线平行或相交问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．

21. 如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，证：四边形AECF是平行四边形.

【答案】答案见解析 【解析】 【分析】

首先连接AC交EF于点O，由平行四边形ABCD的性质，可知OA=OC，OB=OD，又因为BE=DF，可得OE=OF，即可判定AECF是平行四边形. 【详解】证明：连接AC交EF于点O；

∵平行四边形ABCD ∴OA=OC，OB=OD ∵BE=DF， ∴OE=OF

∴四边形AECF是平行四边形.

【点睛】此题主要考查平行四边形的判定定理，关键是找出对角线互相平分，即可解题.

22. 某市为了节约生活用水，计划制定每位居民统一的月用水量标准，然后根据标准，实行分段收费．为此，对居民上年度的月均用水量进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了上年度月均用水量的频数分布直方图(图中分组含最低值，不含最高值)，请根据图中信息解答下列问题：

(1)本次调查的居民人数为__________人；

(2)本次调查的居民月均用水量的中位数落在频数分布直方图中的第__________小组内(从左至右数)； (3)当地希望让85%左右居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，根据上述调查结果，你认为月用水量标准(取整数)定为多少吨时较为合适？

【答案】(1) 100;(2)5;(3) 居民用水量标准为3吨较为合适. 【解析】 【分析】

（1）所有人数之和；

（2）把居民月均用水量从小到大排列，中间两个数的平均数是中位数，再看在哪一小组内； （3）85%左右居民的人数为85位，前6组有86位居民，则把居民用水量标准为3吨较为合适． 【详解】(1)4+8+15+22+25+12+8+4+2=100(人)； 故填100.

(2)第50位和第51位的平均数是中位数，这两位都落在第5小组； 故填5.

(3)100×85%=85，由直方图得，86位居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，则居民用水量标准为3吨较为合适.

【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图, 中位数等知识点，掌握频数（率）分布直方图, 中位数是解题的关键.

23. 已知□ABCD中，A（1，3）, B（2，-1）, C（5，-5） （1）D的坐标为____________.

（2）若经过原点的一条直线平分□ABCD的面积，求此直线的解析式

1【答案】（1）D（4，-1）；(2) y=-x

3【解析】 【分析】

（1）由B(2,-1)平移至C(5,-5)的规律，推出由A(1,3)平移至D；

（2）由平分□ABCD的面积必过□ABCD中心对称点，再由该直线过原点，由此可求出此直线的解析式. 【详解】解：（1）∵B（2，-1）, C（5，-5）

∴由B(2,-1)平移至C(5,-5)的规律是：将B向右平移3个单位，向下平移4个单位长度得到C ∴将A(1,3)向右平移3个单位，向下平移4个单位长度可得D（4，-1） 故答案为D（4，-1）

(2)∵在□ABCD中， A（1，3）, C（5，-5） ∴□ABCD中心对称点为（3，-1） 设所求直线解析式为：y=kx 把点（3，-1）代入y=kx得：-1=3k ∴k=-

1 31x 3∴所求直线解析式为：y=-

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及一次函数的解析式，掌握平行四边形的性质是解题的关键. 24. 规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两

个一次函数为互助一次函数，例如y-2x（1）填空：一次函数y11和yx2就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：

331x4与它的互助一次函数的交点坐标为______ 45（2）若两个一次函数y=（k-b）x – k - 2b与yk3x3k是互助一次函数，求两函数图象与y轴围

2成的三角形的面积． 【答案】(1) (1, 【解析】 【分析】

(1)根据互助函数的定义，写出互助函数，然后解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点坐标； （2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】(1)一次函数y515)；(2) 两个函数与y轴围成的三角形的面积是：

4411x4 的它的互助一次函数是y4x . 441yx44 ， 解1y4x4x1得：15 ，

y4则交点坐标是：(1,故答案为(1,

15 )； 415)； 4k3k2b (2)根据题意得：5 ，

kb3k21b解得：2 ，

k1则两个函数是y=∴y=

11x-2和y=-2x+. 221113x-2和y轴的交点是(0,-2), y=-2x+和y轴的交点是(0, ).两个函数的交点是：(1, -).

2222在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：

115（2+）1 224【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，根据题干意思求出函数解析式及交点是解题的关键. 25. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD对应的函数解析式．

（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求货车从甲地出发后多长时间再与轿车相遇（结果精确到0.01）．

【答案】（1）轿车到达乙地后，货车距乙地30千米； （2）CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）； （3）货车从甲地出发约4.68小时后再与轿车相遇． 【解析】 【分析】

（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（3）设货车从甲地出发x小时后再与轿车相遇，根据轿车（x﹣4.5）小时行驶的路程+货车x小时行驶的路程=300千米列出方程，解方程即可． 【详解】（1）根据图象信息：货车的速度V货=

300=60（千米/时）． 5∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，

60=270（千米）∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×， 此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）． 轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；

（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．

∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，

2.5k+b=80∴

4.5k+b=300解得k=110

b=-195∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）； （3）设货车从甲地出发后x小时后再与轿车相遇． ∵V货车=60千米/时， 所以V轿车=

300-80=110（千米/时），

4.5-2.5∴110（x﹣4.5）+60x=300， 解得x≈4.68（小时）．

货车从甲地出发约4.68小时后再与轿车相遇．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题意得出关系式是解题的关键.

26. 2018雾霾天气趋于严重，某商场根据民众健康需要，从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，如果销售15台A型和10台B型空气净化器的利润为6000元，销售10台A型和15台B型空气净化器的利润为6500元．

（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润；

（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共160台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器x台，这160台空气净化器的销售总利润为y元． ①求y关于x函数关系式；

②该公司购进A型、B型空气净化器各多少台时，才能使销售总利润最大？

【答案】(1) 每台A型空气净化器得销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为300元；(2)①y=−100x+48000；②该公司购进A型、B型空气净化器分别为54台、106台时，才能使销售总利润最大. 【解析】 【分析】

（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①根据题意可以得到y与x的函数关系式；

②根据题意可以求得x的取值范围，由①中的函数关系，从而可以得到该公司购进A型、B型空气净化器各多少台时，才能使销售总利润最大．

的【详解】(1)设每台A型空气净化器得销售利润为a元，每台B型空气净化器的销售利润为b元，

15a10b6000a200 , ， 得10a15b6500b300即每台A型空气净化器得销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为300元； (2)①由题意可得，y=200x+(160−x)×300=−100x+48000， 即y关于x的函数关系式是y=−100x+48000； ②由题意可得， 160−x⩽2x,得x160 ， 13∵y=−100x+48000，

∴x=54时，y取得最大值，此时，160−x=106，

即该公司购进A型、B型空气净化器分别为54台、106台时，才能使销售总利润最大.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，弄清题意，找准题目中的等量关系是解题的关键.

27. 如图，y直线l1：

34yxby轴交于A、B两点，x4分别与x轴、点C为x轴上任意一点，直线l2：

43经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE．

(1)当点C的坐标为(2,0)时，①求直线l2的函数表达式；②求证：AE平分BAC；

(2)问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①y33x；②答案见解析；（2）存在点C使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形, 点C42的坐标为(3,0)或(8,0). 【解析】 【分析】

(1)①由点C的坐标，利用待定系数法即可求出b值，此题得解；

②利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、E的坐标，利用勾股定理以及两点间的距离即可求出AC=AB，由正切的定义即可得出∠ABO=∠ACD，结合公共角即可利用全等三角形的判定定理ASA证出

△ABO≌△ACD，从而得出AO=AD、∠ADC=∠AOB=90°，再利用全等直角三角形的判定定理HL即可证出Rt△ADE≌Rt△AOE，根据全等三角形的性质可找出∠DAE=∠OAE，由此即可证出AE平分∠BAC； （2）△ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况：①CE=AE时，利用等腰三角形的性质结合点A的坐标即可得出点C的坐标；②当CA=CE时，设点C（m，0）（m>0），则OC=m，OE=

33OC=m，CA=m+2，44利用勾股定理求出CE，由CA=CE即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出点C的坐标．综上即可得出结论．

333xb，0=-2b,解得： b，

24433∴直线l2的函数表达式为yx .

424②证明：当yx40 时，x=−3，

3【详解】(1)①将C(2,0)代入y=-∴点A(−3,0)，

OA3 ,ABOA2OB25 ,AC=2−(−3)=5=AB. OB4333∵当x=0时,yx ，

422OE3 ， ∴tanACDOC4∴tanABO∴∠ABO=∠ACD. 在△ABO和△ACD中,

ABOACD ， ABACBAOCAD∴△ABO≌△ACD(ASA)，

∴AOAD,ADCAOB90 . 在Rt△ADE和Rt△AOE中,

ADAO ， AEAE∴Rt△ADE≌Rt△AOE(HL)， ∴∠DAE=∠OAE， ∴AE平分∠BAC.

(2)△ACE是以CE为一腰的等腰三角形分两种情况： ①当AE=CE时， ∵EO⊥AC， ∴OC=OA， ∴点C(3,0)；

②当CA=CE时,设点C(m,0)(m>0),则OCm,OE∴CEOEOC∴m22233OCm ，CA=m+2， 445m ， 45m ， 4解得：m=8， ∴点C(8,0).

综上所述：存在点C,使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形,点C的坐标为(3,0)或(8,0).

【点睛】本题考查了一次函数的综合题，掌握一次函数解析式以及等腰三角形的存在性的讨论是解题的关键.

28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6,0)、B(0,2)两点，动点C在线段OA上（不与O、A重合），将线段CB绕着点C顺时针旋转90得到CD，当点D恰好落在直线AB上时，过点D作DEx轴于点E.

（1）求证，BOCCED；

（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得BCD，当直线BC经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；

（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）BOCCED，见解析；（2）D（3，1），△BCD平移的距离是存在满足条件的点Q，其坐标为2,或4,或2,，见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据AAS或ASA即可证明；

（2）首先求直线AB的解析式，再求出出点D的坐标，再求出直线B′C′的解析式，求出点C′的坐标即可解决问题；

（3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，求出直线PC的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移位，向上平移

5个单位，见解析；（3）243

23

831个单位得到P，推出点D向左平移1个单21个单位得到Q，再根据对称性可得Q′、Q″的坐标. 2【详解】（1）∵BOCBCDCED90， ∴OCBDCE90，DCECDE90， ∴BCOCDE， ∵BCCD， ∴BOCCED

（2）∵直线AB与x轴，y轴交于A(6,0)、B(0,2)两点

∴直线AB的解析式为y∵BOCCED，

1x2 3∴BOCE2，设OCEDm，则D(m2,m) 把D(m2,m)代入y∴D(3,1)

∵B(0,2)，C(1,0)

∴直线BC的解析式为y2x2，

设直线BC的解析式为y2xb，把D(3,1)代入得到b7 ∴直线BC的解析式为y2x7，

1x2得到m1， 37C∴,0， 2∴CC5 25个单位. 2∴△BCD平移的距离是

（3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，

易知直线PC的解析式为y=-∴P（0，

13x+， 323）， 23个单位得到P， 23∴点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，

24∴Q（2，），

3∵点C向左平移1个单位，向上平移

当CD为对角线时，四边形PCQ″D是平行四边形，可得Q″4,，



23

当四边形CDP′Q′为平行四边形时，可得Q′2,，

83综上所述， 存在满足条件的点Q，其坐标为2,或4,或2,

【点睛】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题．

43

23

83