【新教材】
统编版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》
全单元课后练习（含答案解析）
第1章 集合与常用逻辑用语 1.1《集合的概念》课后练习及答案 1.2《集合间的基本关系》课后练习及答案 1.3《集合的基本运算》课后练习及答案 1.4《充分条件与必要跳进》课后练习及答案 1.5《全称量词与存在量词》课后练习及答案 《本章综合与测试》课后练习及答案
1.1《集合的概念》课后练习及答案
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ） A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合 D．数1，0，5，2，2，4，√4 组成的集合有7个元素
2．【2019届北京市海淀区】已知集合A．
𝑦=𝑥2 3．用列举法表示集合{(𝑥,𝑦)|{}，正确的是（ ）
𝑦=−𝑥A．(−1,1)，(0,0) B．{(−1,1),(0,0)} C．{𝑥=−1或0,𝑦=1或0} D．{−1,0,1}
4．已知𝐴={𝑥|𝑥≤2√3 ,𝑥∈𝑅}，𝑎=√14，𝑏=2√2，则( )
B．
C．
D．
，若
1
3
6
1
，则的取值范围为
A．𝑎∈𝐴且𝑏∉𝐴 B．𝑎∉𝐴且𝑏∈𝐴 C．𝑎∈𝐴且𝑏∈𝐴 D．𝑎∉𝐴且𝑏∉𝐴
5．【2018-2019学年广西南宁市第三中学】集合𝐴={2,0,1,7}，𝐵={𝑥|𝑥2−2∈𝐴,𝑥−2∉𝐴}，则集合𝐵中的所有元素之积为（ ） A．36 B．54 C．72 D．108
6．【2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学】若集合A={𝑥|𝑎𝑥2+𝑎𝑥−1=0}只有一个元素，则𝑎=（ ）
A．-4 B．0 C．4 D．0或-4
二、填空题
7．【2018-2019学年广东省华南师范大学附属中学】设集合𝐴={1,2,4}，集合𝐵={𝑥|𝑥=𝑎+𝑏,𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐴}，则集合𝐵中有____个元素．
𝑥+𝑦=0
8．【2017-2018学年上海市金山中学】方程组{2的解组成的集合为_________.
𝑥−4=0【答案】{(2,−2),(−2,2)}
9．【2017—2018学年云南省玉溪市易门县第一中学】用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
10．【2018届上海市黄浦区】已知集合𝐴={1,2，3}，𝐵={1,𝑚}，若3−𝑚∈𝐴，则非零实数m的数值是______．
三、解答题
11．【陕西省安康市石泉县江南高级中学第一章《集合》章节检测题】用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数}; (2){所有被3整除的数}; (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}.
12．若－3∈{a－3,2a－1，a＋1}，求实数a的值.
2
参： 1.【答案】C
【解析】选项A，不满足确定性，故错误；
选项B，不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3}，故错误； 选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确；
选项D，数1，0，5，2，2，4，√4 组成的集合有5个元素，故错误。 故选C。 2.【答案】C
【解析】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2； ∴a的取值范围为[2，+∞）． 故选C． 3.【答案】B
𝑥=−1 𝑥=0 𝑦=𝑥2 【解析】解方程组{，可得{或{。
𝑦=1𝑦=0𝑦=−𝑥故答案为{(−1,1),(0,0)}。 故选B。 4.【答案】B
【解析】∵A={x|x≤2√3，x∈R}，a=√14，b=2√2, 由√14>2√3，可得a∉A；由2√2<2√3，可得b∈A, 故选B． 5.【答案】A
【解析】当𝑥2−2=2时，𝑥=2或𝑥=−2；
又2−2=0∈𝐴，−2−2=−4∉𝐴,∴2∉𝐵，−2∈𝐵； 当𝑥2−2=0时，𝑥=√2或𝑥=−√2，
又√2−2∉𝐴，−2−2=−4∉𝐴,∴√2∈𝐵，−√2∈𝐵； 当𝑥2−2=1时，𝑥=√3或𝑥=−√3,∴√3∈𝐵，−√3∈𝐵； 当𝑥2−2=7时，𝑥=3或𝑥=−3，
又3−2=1∈𝐴，−3−2=−5∉𝐴,∴−3∈𝐵，3∉𝐵， ∴𝐵={−2,√2,−√2,√3,−√3,−3}。
又−2×√2×(−√2)×√3×(−√3)×(−3)=36． 故选A． 6.【答案】A
1
3
6
1
𝑎≠0 𝑎≠0
【解析】由题意得𝑎𝑥2+𝑎𝑥−1=0只有一个实根，所以{,{2,𝑎=−4，故
𝛥=0𝑎+4𝑎=0选A. 7.【答案】6
【解析】由题意，x可能为1+1，1+2,1+4,2+2，2+4,4+4，即2,3,4,5,6,8.所以B={2，3，4，5，6，8}；共有6个元素。
𝑥=2 𝑥=−2
8.【解析】由𝑥2−4=0，解得𝑥=2或𝑥=−2，代入𝑥+𝑦=0，可解得{或{，
𝑦=−2𝑦=2𝑥+𝑦=0
所以方程组{2的解组成的集合为{(2,−2),(−2,2)}，
𝑥−4=0
故答案为{(2,−2),(−2,2)}.
9.【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
【解析】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则{x,y|0x2且0y1}. 故答案为{x,y|0x2且0y1}. 10.【答案】2
【解析】由题意，若3−𝑚=2, 则𝑚=1, 此时B集合不符合元素互异性，故𝑚≠1; 若3−𝑚=1,则𝑚=2,符合题意；若3−𝑚=3,则𝑚=0,不符合题意. 故答案为2。
11.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）{−2}
【解析】 (1)绝对值不大于3的整数还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}；
(2){x|x=3n,n∈Z}(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z})； (3)∵x=|x|,∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可表示为{0,1,2,3,4}； (4)由(3x-5)(x+2)(x+3)=0
2
可得，3x50或x20或x30，解得
25x或x2或无解3。因为x∈Z，所以x2。所以该集合可表示为{-2}.(特别注意x∈Z
这一约束条件)。 12.【答案】a＝0或－1 【解析】∵
－3a－3,2a－，1a21，又a21≥1，
∴－3＝a－3，或－3＝2a－1， 解得a＝0，或a＝－1，
2当a＝0时， {a3,2a1,a1}＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性；
2当a＝－1时，{a3,2a1,a1}＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性；
∴a＝0或－1.
1.2 《集合间的基本关系》课后练习及答案
一、选择题
1．【人教A版高中数学必修一第1章《集合与函数概念》单元测试】设M={菱形}，N={平行四边形}，P={四边形}，Q={正方形}，则这些集合之间的关系为 A．PNMQ B．QMNP C．PMNQ D．QNMP
2．【2017秋人教A数学必修1第一章 单元检测】已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为( ) A．5 B．6 C．7 D．8
B{a,2}，3．【湖北省安陆一中2019年5月高二摸底调考】已知集合A{0,1,2}，若BA，
则a A．0 C．2
2A{x|xx}，B{1,m,2}，4．【河南省名校2018-2019学年高二5月联考】已知集合
B．0或1 D．0或1或2
若AB，则实数m的值为（ ） A．2
5．【北京市第四中学2019届高三第三次调研考试】已知集合A{0,a},B{x|1x2},且AB,则a可以是 A．1
6．【山东师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期第一次学分认定】已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−1=0}，则下列式子表示正确的有（ ）
B．0
C．1
D．2
B．0
C．0或2
D．1
①{1}∈𝐴 ②−1⊆𝐴 ③𝜙⊆𝐴 ④{1,−1}⊆𝐴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．【河北省正定县第三中学2017-2018学年高一上学期第一次月考】集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为_____
8．【河北省邢台市第八中学2018-2019学年高一上学期第一次月考】集合𝐴={𝑥|𝑥2+𝑥−6=0}，𝐵={𝑥|𝑎𝑥+1=0}，若𝐵⊆𝐴，则𝑎=______．
9．【江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一10月联考】设集合𝐴={𝑥,𝑦}，𝐵={0,𝑥2}，若A＝B，则2𝑥+𝑦=______
10．【内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期第一次阶段测试】设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是______．
三、解答题
11．【辽宁省葫芦岛市六校协作体2017-2018学年高一12月月考】已知集合Aa，a1，
B2，y， C{x|1x14}.
（1）若AB，求y的值； （2）若AC，求a的取值范围.
12. 【2017-2018学年苏教版第一单元章末过关检测】已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求a的取值范围．
参： 1.【答案】B
【解析】∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形， ∴正方形应是M 的一部分， M是N 的一部分， ∵矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形， ∴它们之间的关系是： QMNP． 故选B． 2.【答案】C 【解析】
根据题意，M集合一定含有元素1,2，且为集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的个数为23－1＝7个,故选C. 3.【答案】B
【解析】由BA，可知B{0,2}或B{1,2}，所以a0或1.故选B 4.【答案】B
2A{x|xx}{0,1}，因为AB，所以m0，故选B. 【解析】由题意，集合
5.【答案】C
【解析】解：因为AB，且集合A0,a,B{x|1x2}, 所以1a2且a0,
根据选项情况，由此可以判定只能选择C. 6.【答案】B
【解析】∵𝐴={𝑥|𝑥2−1=0}={−1,1}，
则{1}∈𝐴，集合与集合之间不能与属于符号，所以①不正确； −1⊆𝐴，元素与集合之间不能用包含于符号，所以②不正确； ∅⊆𝐴,符合子集的定义，所以③正确： {−1,1}⊆𝐴符合子集的定义，所以④正确， 因此，正确的式子有2个，故选B. 7.【答案】14
【解析】因为{x|1＜x＜6，x∈N*}={2,3,4,5}
所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5} {2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14. 8.【答案】−2或3或0
1
1
【解析】解：集合𝐴={𝑥|𝑥2+𝑥−6=0}={−3,2} ∵𝐵⊆𝐴，
∴(1)𝐵=⌀时，𝑎=0 (2)当𝐵={−3}时，𝑎=
31
(3))当𝐵={2}时，𝑎=−2 故答案为：−或或0．
2
31
1
1
9.【答案】2
【解析】因为𝐴={𝑥,𝑦},𝐵={0,𝑥2}，若𝐴=𝐵， 𝑥=0 𝑥=𝑥2 𝑥=0 𝑥=1 则{，解得{或{， 2或{𝑦=𝑥𝑦=0𝑦=0𝑦=0当𝑥=0时，𝐵={0,0}不成立，
当𝑥=1,𝑦=0时，𝐴={1,0},𝐵={0,1}，满足条件， 所以2𝑥+𝑦=2，故选C. 10.【答案】{a|a≥2}
【解析】∵集合𝐴={𝑥|1<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥<𝑎}，且𝐴⊆𝐵，∴𝑎≥2，故选答案为{𝑎|𝑎≥2 }. 11.【答案】(1) 1或3；(2) 3a5. 【解析】（1）若a2，则
A1，2，∴y1.
若a12，则a3， A2，3，∴y3. 综上， y的值为1或3. （2）∵C{x|2x5}，
∴{2a5，2a15 ∴3a5.
12.【答案】a＝1或a≤－1.
【解析】集合A＝{0，－4}，由于B⊆A，则：
(1)当B＝A时，即0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入解得a＝1. (2)当B≠A时：
①当B＝∅时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， 解得a＜－1；
②当B＝{0}或B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件． 综上可知a＝1或a≤－1.
1.3《集合的基本运算》课后练习及答案
一、选择题
1．（2018·江西高一课时练习）(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
2．（2018·陕西石泉县江南高级中学高一课时练习）已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A．M∪N B．∁U(M∪N) C．(∁UM)∩N D．∁U(M∩N)
3．（2018·陕西石泉县江南高级中学高一课时练习）已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁UM=( )
A．{x|-1 4．（2018·全国高一课时练习）设全集𝑈=𝑅，𝐴={𝑥|𝑥>0}，𝐵={𝑥|𝑥≤1}，则𝐴∩𝐵=（ ） A．{𝑥|0≤𝑥<1} 5．（2018·全国高一课时练习）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁UA)∪(∁UB)等于( ) A．{1,6} 6．（2018·全国高一课时练习）设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈ B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7} B．{𝑥|0<𝑥≤1} C．{𝑥|𝑥<0} D．{𝑥|𝑥>1} M且x∉P}，则M－(M－P)等于( ) A．P B．M C．M∩P D．M∪P 二、填空题 7．（2018·全国高一课时练习）设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则∁R(M∩N)＝________. 8．（2018·陕西石泉县江南高级中学高一课时练习）设全集I={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁IA={5,7},则a的值为_____. 9．（2018·江西高一课时练习）已知全集U＝{1，2，a－2 a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于________． 10．（2017·全国高一课时练习）已知M＝{x|x≤－1}，N＝{x|x>a－2}，若M∩N≠∅，则a的范围是________. 三、解答题 11．（2018·全国高一课时练习）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 2 参： 1. 【答案】B 【解析】 由题意𝐴∪𝐵={1,2,4，6}，∴(𝐴∪𝐵)∩𝐶＝{1,2,4} 选B 2. 【答案】B 【解析】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是𝐴∪𝐵， 所以图中阴影部分所表示的集合为𝐴∪𝐵的 补集， 即图中阴影部分所表示的集合为𝐶𝑈(𝐴∪𝐵)，故选B. 3. 【答案】C 【解析】由题意，全集𝑈=𝑅，集合𝑀={𝑥|−1≤𝑥≤3}，所以𝐶𝑈𝑀={𝑥|𝑥<−1或𝑥>3}， 故选C. 4. 【答案】B 【解析】 全集𝑈=𝑅，𝐴={𝑥|𝑥>0}，𝐵={𝑥|𝑥≤1}， 𝐴∩𝐵={𝑥|0<𝑥≤1}. 故选B. 5. 【答案】D 【解析】由补集的定义可得：∁UA={1,3,6},∁UB={1,2,6,7}, 所以(∁UA)∪(∁UB)={1,2,3,6,7}. 本题选择D选项. 6. 【答案】C 【解析】由题意，作出Venn图，如图所示：可得M－(M－P)= M∩P，故选C. 7. 【答案】{x|x<－2或x≥1} 【解析】由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则M∩N＝{x|－2≤x<1}, 所以∁R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}. 8. 【答案】2或8 【解析】由题意𝐴={1,|𝑎−5|,9},𝐶𝐼𝐴={5,7}， 可得3∈𝐴,|𝑎−5|=3，所以𝑎=2或𝑎=8. 9. 【答案】0或2. 【解析】因为∁UA＝{3}，所以a－2a＋3＝3，解得a＝0或a＝2. 10. 【答案】a<1 【解析】集合M＝{x|x≤－1}，N＝{x|x>a－2}，M∩N≠∅，则a<1,故填a<1. 11. 【答案】见解析 【解析】解：如图所示． ∴A∪B＝{x|2 A∩B＝{x|3≤x<6}． ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}， ∁R(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}． 又∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2 12. 【答案】{ 𝑛=25. 【解析】解：∵A∪B＝A，A∩B＝{5}，A＝{3,5}， ∴B＝{5}． ∴方程x＋mx＋n＝0只有一个根为5， 25+5𝑚+𝑛=0 ∴{ 𝛥=𝑚2−4𝑛=0𝑚=−10, ∴解得{ 𝑛=25. 2 1.4《充分条件与必要条件》课后练习 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( ) A．－2≤x≤2 C．0 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．a<0，b<0的一个必要条件为( ) A．a＋b<0 a C. b>1 二、填空题 6．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件． 8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围 B．a－b>0 a D. b<－1 是__________． 三、解答题 9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； (2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； a (3)p：a 四、提高题 11．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 12．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( ) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 13．若p：x－3<0是q：2x－3 14．设p：2≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________． 15．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 参： 1.A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．] 2. B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成 立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.] 3. A [由x2<4得－2 4. B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，故选B.] 5. A [a＋b<0 a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.故选A.] 6. 必要不充分 [由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由 △ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.] 7. 充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0， 所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．] 8. {a|a≤1} [p：x>1，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q 对应集合的子集，故a≤1.] 9. [解] 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p 是q的充要条件； 在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件； aa 在(3)中，若a mx＜－则只要x2 ⊆{x|x<－1 或x>3}， m 即只需－2≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆ mxx＜－ 2 ， 这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件． 11. A [因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件， 但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．] 12. B [由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈C x∈A.所以x∈C是x∈A的必 要不充分条件．] 13. {m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3 2 由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}1 所以2(m＋3)＞3，解得m＞3.] 114. a0≤a≤2 1 xx<m＋32 ， [因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件， 1a≤，所以2 a＋1≥1，1解得0≤a≤2.] 15. [解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0； 若方程有两个负的实根， 1 则必须满足－a＜0， Δ＝1－4a≥0， 1 a＞0， 1 即0＜a≤4. 1 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤4. 1 反之，若a≤4，则方程至少有一个负的实根． 1 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤4. 1.5《全称量词与存在量词》课后练习及答案 二、选择题 1．（2018·全国高二课时练习）已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题¬p为( ) A．∀x∈R,x≤1 B．∃x0∈R,x0<1 C．∀x∈R,x≤-1 D．∃x0∈R,x0<-1 2．（2019·乐陵市第一中学高三课时练习（理））在下列给出的四个命题中，为真命题的是( ) A．∀𝑎∈𝑅，∃𝑏∈𝑄，𝑎2+𝑏2=0 B．∀𝑛∈𝑍，∃𝑚∈𝑍，𝑛𝑚=𝑚 C．∀𝑛∈𝑍，∃𝑚∈𝑍，𝑛>𝑚2 D．∀𝑎∈𝑅，∃𝑏∈𝑄，𝑎2+𝑏2=1 3．（2016·全国高一课时练习（文））命题“存在x0R,2A．不存在x0R,2x0x00”的否定是（ ） 0 B．存在x0R,2x00 xxC．对任意的xR,20 D．对任意的xR,20 4．（2017·全国高一课时练习（文））下列全称量词命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0或5的整数，可以被5整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形. A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2013·全国高二课时练习）下列存在量词命题中真命题的个数是（） ① ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2017·乌鲁木齐市第70中高三月考（理））命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( ) A．全等三角形的面积不一定都相等 B．不全等三角形的面积不一定都相等 C．存在两个不全等三角形的面积相等 D．存在两个全等三角形的面积不相等 二、填空题 7．（2017·全国高一课时练习（文））下列命题： 232①xR,x210；②xN,x1；③xZ,x1；④xQ,x3； 22⑤xR,x3x20；⑥xR,x10． 其中所有真命题的序号是 ． 8．（2017·全国高一课时练习（文））用符号“”或“”表示命题：实数的平方大于或等于0为_____________. 9．（2017·全国高二课时练习）命题“存在实数x，使x1”的否定是 ． 10．（2014·全国高一课时练习）下列存在性命题中，是真命题的是 ． ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x是无理数． 三、解答题 11．（2016·全国高一课时练习（文））写出下列命题的否定，并判断其真假： 32（1）p：xR,x2x20；（2）至少有一个实数x，使得x10. 2 12．（2016·全国高一课时练习（理））已知𝑝:∀𝑥∈𝑅,𝑚𝑥2+1>0，𝑞:∃𝑥∈𝑅,𝑥2+𝑚𝑥+1≤0. （Ⅰ）写出命题𝑝的否定¬𝑝；命题𝑞的否定¬𝑞； （Ⅱ）若¬𝑝或¬𝑞为真命题，求实数𝑚的取值范围. 参： 1. 【答案】B 【解析】全称量词命题的否定形式为 ∃x0∈ R, x0 <1 所以选B 2. 【答案】B 【解析】𝐴，若𝑎=2，则𝑎2+𝑏2=0不成立，故𝐴错误， 𝐵，当𝑚=0时，𝑛𝑚=𝑚恒成立，故𝐵正确， 𝐶，当𝑛=−1时，𝑛>𝑚2不成立，故𝐶错误， 𝐷，若𝑎=2，则𝑎2+𝑏2=0不成立，故𝐷错误， 故选𝐵 3. 【答案】D 【解析】∵“x0A,Px0”的否定为“xA,Px”，∴“存在x0R,2x的否定为“对任意的xR,20”，故选D. x00” 4. 【答案】C 【解析】①正确；②错误，钝角不一定都相等，如120，150是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个面都是三角形. 5. 【答案】D 【解析】 试题分析：①∃x∈R，x≤0为真命题 ②至少有一个整数例如1，它既不是合数，也不是素数，故②为真命题 ③例如x= 214是无理数，x2仍然是无理数，从而可得∃x{x|x是无理数}，x2是无理数为真命 题，从而可知真命题的个数为3个，故选D 6. 【答案】D 【解析】 全称量词命题的否定为存在量词命题，因为命题“全等三角形的面积一定都相等”为全称量词命题， 所以否定为：存在两个全等三角形的面积不相等 故选D. 7. 【答案】①③ 3【解析】①xR,x210；②xN,x20；③x0Z,x1； 222④x3x3Q；⑤当x0时，x3x20；⑥xR,x110．所 以①③为真命题. 28. 【答案】xR,x0 【解析】确定命题的形式为全称量词命题，然后翻译成符号语言. 9. 【答案】对任意的x，都有x1 【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：对任意的x，都有x1 10. 【答案】①②③ 【解析】①真命题，如当x=﹣1时，x≤0成立； ②真命题，1既不是合数，也不是质数； ③真命题，如x= ，x= 2 为无理数． 故答案为：①②③． 11. 【答案】见解析 2【解析】（1）否定是xR,x2x20，因为x22x2x1110，所以 2否定后的命题是一个真命题. 3（2）否定是xR,x10，是假命题，如：x1时，x10. 312. 【答案】（1）¬𝑝:∃𝑥∈𝑅,𝑚𝑥2+1≤0；¬𝑞:∀𝑥∈𝑅,𝑥2+𝑚𝑥+1>0；（2）𝑚<2. 【解析】（1）¬𝑝：∃𝑥∈𝑅,𝑚𝑥2+1≤0；¬𝑞：∀𝑥∈𝑅,𝑥2+𝑚𝑥+1>0. （2）由题意知，¬𝑝真或¬𝑞真，当¬𝑝真时，𝑚<0，当¬𝑞真时，𝛥=𝑚2−4<0，解得−2<𝑚<2，因此，当¬𝑝∨¬𝑞为真命题时，𝑚<0或−2<𝑚<2，即𝑚<2. 第一章章末综合测评《集合与常用逻辑用语》 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列表示正确的是( ) A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z} C．∅＝{∅} D．1∈{有理数} 2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁RB)＝( ) A．{x|x>1} B．{x|x≥－1} C．{x|1 3．满足{1}⊆X{1,2,3,4}的集合X有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是( ) A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1 C．存在x∈R，使得x2≥1 D.存在x∈R，使得x2＜1 5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A．∃x∈R，x3－x2＋1<0 B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0 C．∀x∈R，x3－x2＋1>0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0 6. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7．a2＞b2的一个充分条件是( ) A．a＞b B．a＜b ) C．a＝b D．a＝2，b＝1 8．下列命题中，真命题是( ) A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1 B．∀x∈R,2x＞x2 a C．a＋b＝0的充要条件是b＝－1 D．∃x∈R，x2＋2≤0 9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A．a<0 C．a<－1 B．a>0 D．a>1 10．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为( ) A．{a|2≤a≤7} C．{a|a≤7} B．{a|6≤a≤7} D．∅ 12．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________. 14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________． 15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 16．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立； (2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0. 18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2 19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件． (1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0； (2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B. 20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)当m＝－1时，求A∪B； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅. (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 11 22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：x＜y的充要条件是xy＞0. 参： 1. D [选项A不正确，因为符号“{ }”已包含“所有”“全体”的含义， 因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．] 2. B [由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}，∴A∪(∁RB)＝{x|x ≥－1}．] 3. D [集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7 个．] 4. D [因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R， 都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.] 5. C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋ 1>0”．故选C.] 6. B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交 点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．] 7. D [A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中， 当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选D.] 8. A [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝ ab －1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.] 9. C [方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知＜0，即a＜0，a< 3a －1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C.] 10. A [根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}． 又∵A⊆∁RB，∴2m≤2. 解得m≤1，故m的值可以是1.] 11. C [当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B； 当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅， 3a－5≤16， 要使A⊆B，需有解得2≤a≤7. 2a＋1≥5，综上可知，a≤7.] 12. C [由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之， 若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．] 13. {x|x≤1} [∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．] 14. {a|a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最 小值为1，∴a≤1.] 15. 充分不必要 [由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B” 的充分不必要条件．] 16. 18 [当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0； 当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12. 即A⊙B＝{0,6,12}． 故集合A⊙B的所有元素之和为18.] 17. [解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题； 又由于“任意”的否定为“存在一个”， 因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立， 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”； (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题； 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． 18. [解] 结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}， 又∵A∩B＝{x|－2 所以a，b至少有一个大于0，所以p反之，若ab＞0，可推出a，b同号． 但推不出a＋b＞0，即q p. q. 综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件． (2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q. 而当A∪B＝B时，A⊆B，即qp， 所以p为q的充分不必要条件． 20. [解] (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}． 1－m＞2m， (2)由A⊆B，知2m≤1， 1－m≥3， 解得m≤－2， 即实数m的取值范围为{m|m≤－2}． 21. [解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件， ∴A⊆B. a≤2，∴ 3a≥4， 4 解得a的取值范围为3≤a≤2. (2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅， ∴a＞0. 2 若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤3或a≥4. 22. [证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得 xyxy＞xy， 11即x＜y. y－x1111 必要性：由x＜y，得x－y＜0，即xy＜0. 因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0. 11 所以＜的充要条件是xy＞0. xyy－x1111 法二：x＜y⇔x－y＜0⇔xy＜0. y－x 由条件x＞y⇔y－x＜0，故由xy<0⇔xy＞0. 11 所以x＜y⇔xy＞0， 11 即x＜y的充要条件是xy＞0.
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