CAPM模型及其应用

数学与应用数学专业学年论文

题目 CAPM

姓名

学号

班级

指导教师

模型及其应用

教 师 评 语

论 文 成 绩

指导教师签名

摘要：资本资产定价模型对于了解资本的收益和风险间的本质关系，指导投资有着极其重要的意义。因而在项目风险管理中引入CAPM模型, 结合净现值来计算比较, ，可以使项目实现过程中的风险和干扰因素减小到最低点，为项目风险的计量和管理提供了一个很好的工具。分析了CAPM 模型应用的前提条件, 并对模型中的无风险投资收益率、资本市场平均投资收益率、风险校正系数等参数进行分析确定, 探讨了该模型适用的修正条件及其实际运用价值。CAPM理论是现代金融理论的核心内容，他的作用主要在于：通过预测证券的期望收益率和标准差的定量关系来考虑已经上市的不同证券价格的“合理性”；可以帮助确定准备上市证券的价格；能够估计各种宏观和宏观经济变化对证券价格的影响。充分利用CAPM较强的逻辑性、实用性，通过对市场的实证分析和理论研究，有利于发现问题，推动我国股市的发展。

关键词: CAPM模型； 项目风险管理； 无风险收益率

1．引言

资本资产定价模型(Capital Asset Price Model，简称CAPM）是以投资组合理论（Portfolio Theory）为基础发展而成的，是由美国经济学家William F. Sharp和John Lintner，Jack Treynor分别独自提出的。该模型是资本市场理论的核心内容，对于了解资本的收益和风险间的本质关系，指导投资有着极其重要的意义。由于其简捷性和可操作性, 在诸如资本成本核算、股票收益预测、证券组合定价以及项目风险事件研究分析等方面, 都得到了广泛的应用。CAPM已被广泛应用于解决投资决策中的一般性问题，尤其是在西方发达国家，它的特点便在于对风险收益关系有关的重大问题作出了简明的回答。将CAPM模型引入到投资项目的价值及风险的定量分析评估中可以使项目实现过程中的风险和干扰因素减小到最低点。本文拟对项目风险的定量分析方法—CAPM模型进行介绍和评价。

2．模型的基本假设

CAPM模型的理论假设可以归纳为以下几点：

第一：资本市场是一个具有充分竞争性和有效性的市场且没有交易成本和交易税；第二：在该市场上，所有投资者都追求利益最大化，也为风险回避者；第三：同质预期假设，即所有投资者对同一资产具有相同的价值预期；第四：在该市场上，所有投资者都有机会充分运用多样化、分散化的战略来减少非系统性的风险；第五：在该市场上，对某一特定资产，投资者都是在相同的时间区域作出投资决策的。第六：投资者根据与其收益和收益的方差来选择投资组合；在上述假设条件下，可以推导出CAPM模型的具体形式：

2 E(ri)rfi(E(rm)rf)，iCov(ri,rm)/Var(rm)im/m其中E(ri)表示证券i的期望收益，E(rm)为市场组合的期望收益，rf为无风

险资产的收益，imCov(ri,rm)为证券i收益率和市场组合收益率的协方差，

2mVar(rm)为市场组合收益率的方差。CAPM模型认为，在均衡条件下，投资

者所期望的收益和他所面临的风险的关系可以通过资本市场线（Capital Market Line，CML）、证券市场线（Security Market Line，SML）和证券特征线（characteristic line）等公式来说明。

3. 模型的推导

一、几个基本概念：

1．资本市场线（Capital Market Line，CML）：

E(rp)rfp/m(E(rm)rf)

证券有效组合p的风险p与该组合的预期收益率E(rp)关系的表达式。虽然资本市场线表示的是风险和收益之间的关系，但是这种关系也决定了证券的价格。因为资本市场线是证券有效组合条件下的风险与收益的均衡，如果脱离了这一均衡，则就会在资本市场线之外，形成另一种风险与收益的对应关系。这时，要么风险的报酬偏高，这类证券就会成为市场上的抢手货，造成该证券的价格上涨，投资于该证券的报酬最终会降低下来。要么会造成风险的报酬偏低，这类证券在市场上就会成为市场上投资者大量抛售的目标，造成该证券的价格下跌，投资于该证券的报酬最终会提高。经过一段时间后，所有证券的风险和收益最终会落到资本市场线上来，达到均衡状态。 2．证券市场线（Security Market Line, SML）：

E(ri)rfi(E(rm)rf)

证券i与市场组合m的协方差风险i与该证券的预期收益率E(rm)关系的表达式。证券市场线也可以用另一种方式来说明。对证券市场线的公式进行变换后，就会用一个指标来表示证券的风险。实际上，这个系数是表示了某只证券相对于市场组合的风险度量。对这个特别作如下的说明：

（1）由于无风险资产与有效组合的协方差一定为零，则任何无风险资产的值也一定为零。同时任何值为零的资产的期望回报率也一定为零。

（2）如果某种风险证券的协方差与有效组合的方差相等，值为1，则该资产的期望回报率一定等于市场有效组合的期望回报率，即这种风险资产可以获得有效组合的平均回报率。

（3）值高时，投资于该证券所获得的预期收益率就越高；值低时，投资于该证券所获得的预期收益率就越低。实际上，证券市场线表明了这样一个事实，即投资者的回报与投资者面临的风险成正比关系。 3．证券特征线（characteristic line）：

E(ri)rfi(E(rm)rf)

证券的超额预期收益率与市场超额预期收益率之间关系的表达式。CAPM模型给出了单个资产的价格与其总风险各个组成部分之间的关系，单个资产的总风险可以分为两部分，一部分是因为市场组合m收益变动而使资产i收益发生的变动，即i值，这是系统风险；另一部分，即剩余风险被称为非系统风险。单个资产的价格只与该资产的系统风险大小有关，而与其非系统风险的大小无关。

以上简单介绍了CAPM模型，下面将从几个方面详细的推导CAPM模型，并且探讨模型背后的含义，最后给出一些CAPM模型的检验及实证结果。

二、CAPM模型的推导

1. Sharpe证明的CAPM模型:

Sharpe的证明基于这样的思想：对于任何市场中的证券（或证券组合）i，它与市场组合m的组合所形成的风险-收益双曲线必定与资本市场线相切于市场组合所对应的点(m,m)上。

考虑一个证券组合p，若某种风险资产i被选择，投资于i上的比例为xi，投资于其他资产也就是市场组合的比例为1xi，这样的证券组合的期望收益和标准差为：

rpxiri(1xi)rm

2p(xi2i2(1xi)2m2xi(1xi)im)1/2

所有这样的投资组合p都位于连接i和m的直线上：

drpdxidprirm

22xii2mximim2xiim22221/2； dxi(xii(1xi)m2xi(1xi)im)得到连接im的直线的斜率就是：

drpdp所以有：

drp/dxidp/dxi；

2(rirm)(xi2i2(1xi)2m2xi(1xi)im)1/2； 222dpxiimximim2xiimdrp在im直线的端点处，xi0，代入于是有：

(rirm)m2； dpimm又因为m点在CML直线上的斜率与im的直线的斜率应相等，于是有：

drp(rirm)mrmrf； 2immm整理可得：rirf型的结果。

2. 资产定价基本定理导出的CAPM模型:

Ross（1976）提出了套利定价的一般原理，被称为“资产定价基本定理”。它指出完整的无套利假设等价于正线性定价法则。这条定理可以表述为：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某种等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。

下面简要的介绍如何由资产定价基本定理推出CAPM模型的结论：

设向量pRs，p0，并且对于任何xRs有E(x)p1x1p2x2rmrf2mimrfi(rmrf)，iim2于是得到了CAPM模mpsxs.

对于任意x,Rs，用x表示(x11,x22,,xss).D为支付矩阵，

D(x1,x2,xK)T，xi(xi1,xi2,,xis)Rs，xis表示第i种证券在第s种状态时的

证券价格，q是1S阶矩阵（行向量），代表证券价格。

引理：设F:RsR是线性的，那么存在唯一的Rs，使得对于所有的

xRs，有F(x)E(x)，并且，当且仅当x0时，F是严格增函数。

推论：支付矩阵-价格对(D,q)满足无套利要求，当且仅当存在Rs，使得qE(D)。

0，

对于任何的x,yRs，协方差Cov(x,y)E(xy)E(x)E(y),方差

Var(y)Cov(y,y)0。我们可以用xy的线性形式来表示x，

Cov(x,y)/Var(y)，并且Cov(y,)E()0. 这个y对x的线性回归是唯一确定的，系数称为联合回归系数。

若(D,q)满足无套利，对于任何证券组合有q0，的收益是Rs上的向

量R，表示为Rs对于任意这样的，我们有E(R)1，(DT)s/q. 固定，

假设存在无风险证券。这意味着存在具有确定收益R0，称为无风险收益。

Cov(R,)0E(R)R我们有：

E()x和y的相关系数定义为corr(x,y)cov(x,y)

var(x)var(y)于是一定存在一个证券组合*满足：supcorr(DT,)

如果这样*的收益R*具有非零方差，那么它可以被表示为：

Cov(R*,R)E(R)RE(R)R，其中var(R*).

0*0如果市场是完全的，R当然也可以和完全相关。

*

上式就是状态价格模型，表示证券收益率是最大化了和相关系数的证券组合的收益率的一部分。

如果这样*的收益R*具有非零方差，那么它可以被表示为：

Cov(R*,R)E(R)RE(R)R，其中var(R*). 则有CAPM模型：

0*0E(ri)rfiE(rm)rf

于是得到了CAPM模型的结果。

4. CAPM模型在项目风险管理中的应用

根据CAPM模型，投资者在做出投资决策时只需要考虑项目的系统性风险，即该项目与资本市场上的其他投资机会相比较所具有的带有共性的风险，以及由于承担了该项目风险而应得到的收益，因此一个具体项目的投资收益率可以表示为：

RiRfi(RmRf)

其中：Ri为在给定风险水平其他条件下项目i的合理预期投资收益率；Rf为无风险投资收益率i为项目i的风险校正系数，代表项目对资本市场系统风险变化的敏感程度；Rm为资本市场的平均投资收益率。 将风险校正贴现率Ri代入项目现金流量净现值公式：

nCtCtNPVII ttt1(1k)t1(1Rfi(RmRf))n式中：NPV为项目在n年经济生命期内的净现值；Ct为第t年的净现金流量；I为项目初始投资；t为项目年数；k为贴现率。按照上述公式计算，如果NPV0，说明项目投资者在预期的项目经济生命期中至少可获得r的平均收益，项目收益将大于或者等于投资的机会成本；如果NPV0，则说明项目不值得考虑。

一、CAPM模型的运用步骤

运用CAPM模型计算项目的合理资金成本为决定提供定量的依据时，共有以下四个步骤：第一步，根据所要投资项目的性质和规模，在资本市场上寻找相同或者类似的公司来确定项目的风险校正系数的值；第二步，根据CAPM模

型计算投资者股本资金的机会成本；第三步，根据各种可能的债务资金的有效性和成本，计算项目的债务资金成本；第四步，将以上两种资金成本加权平均即可以计算出项目投资的综合成本，即确定了项目的风险校正贴现率。

二、模型参数值的确定

1. 无风险投资收益率Rf

真正意义上的无风险利率是不存在的, 一般是以债券的利率来表示。然而, 由于各种债券的利率随着发行当时的资本市场情况以及期限的长短而变化, 因而, 通常的做法是在资本市场上选择与项目预期经济生命期相近的债券的收益率作为无风险投资收益率Rf 的参考值。在项目融资中,Rf 也经常被用来作为项目风险承受能力底线的指标。

2. 资本市场平均投资收益率Rm

资本市场的充分竞争性和有效性以及投资者追求最大投资收益的动机决定了资本市场具有一个均衡的投资收益率。然而, 在实践中几乎没有可能计算出资本市场投资收益率的均衡点。因此, 在资本市场相对发达的工业国家通常以股票价格指数替代均衡收益率作CAPM 模型的平均投资收益率Rm . 因为股票价格指数的收益率变动剧烈, 所以实际计算中采用一个较长的时间段( 一般为10 年) 内的平均股票价格指数收益来做为Rm 的参考值。但是,这里仍然存在的一个问题即Rf 的估值反映的是对未来收益的预期, 而Rm 的估值则代表的是过去某一阶段中的平均收益率, 两者不匹配, 因而有可能出现(Rm- Rf ) < 0 的情况, 为了解决这一问题, 一种办法是在一个较长的时间区域内计算(Rm- Rf ) 值,最后取得一个平均数值替代对Rm 的单独估值。 3. 风险校正系数

风险校正系数的估值最为困难, 争论也比较大。目前通用的方法是根据资本市场上已有的同一种工业部门内相近似公司的系统风险的值作为将要投资项目

( 分析对象) 的风险校正系数。理论上,在资本市场上对某一公司的系统性风险进行估值,可以按照数理统计的原理对该公司股票价格与资本市场整体运行趋势之间的相对应关系的历史数据 (一般需要至少60 个月以上的数据) 加以统计回归做出相关曲线来完成, 相关曲线的斜率就是该公司的风险校正系数但是在实践中除了专业化的证券公司外, 一般投资者很难获得这样完整的资料来做出计算。所以, 在资本市场相对发达的工业国家中一些具有权威性的证券公司定期公布所有上市公司的值以及各个工业部门的平均值, 提供给投资者作为参考。在引用公布的值时, 值越高, 表明该工业部门在经济发生波动时风险性越大。

要注意区分该值某一工业部门 ( 或公司) 的资产值还是其股本资金值。资产值反映的是该工业部门 ( 或公司) 的生产经营风险; 股本资金值反映出公司在不同的股本/ 债务资金结构中的融资风险。债务越高融资风险也就越高。因而, 债务越高股本资产值也就越高。股本值与资产值关系为:

ea[1DE(1t)] e为股本资金值 a为资产值;D为项目债务的

市场价值; E为项目股本资金的市场价值; t 为公司所得税。

5. 结论

应用CAPM模型指导项目投资风险管理时，必须要注意到它的局限性。一方面，由于CAPM模型是在一系列的严格假设的条件上推导出来的，我国股市的非有效性及股市规模过小容易被大户所操纵，现实经济与这些假设条件相比还有很大的差距；另一方面，在该模型中，由于变量Rm在现实经济中无法计算出来，只能以某种股票指数来代替，而该股票指数的效率必然低于市场资产组合的效率。CAPM模型的这些局限性就必然使其应用效果要打些折扣。所以在应用CAPM模型对项目的决策和风险管理时，项目决策者一定要注意其前提条件与现实经济的差距。

参考文献

[1] 埃德温·J·埃尔顿等, 现代投资组合理论和投资分析[M], (金融学译丛译) 中国人名大学出版社, 2006(1) : 291-294.

[2] 徐 超, 项目风险的定量分析方法-CAPM 模型[ J] , 教育财会研究, 2004(6) : 55-57.

[3] 景乃权, 资本资产定价模型及其运用研究[J] , 经济学家, 2002(1) : 109-114. [4] 陈学华, 韩兆洲, 中国股票市场行业β系数的时变性[J] , 系统工程, 2006(2) : 63-67.

[5] 张卫国, 现代投资组合理论[M], 科学出版社, 2007(1) : 33-37. [6] 徐占东, 郭多祚, 中国股票市场B稳定性分析[J], 统计与信息论坛, 2004(6)：39-42．

[7] 靳云汇李学中国股市8系数的实证研究[J], 数量经济技术经济研究， 2000(1)：18—23．