2019-2020学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）使二次根式A．x≠2
有意义的x的取值范围是（ ） B．x＞2
C．x≤2
D．x≥2
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．
﹣
＝
B．
+
＝
C．3
﹣
＝2
D．2+
＝2
4．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A．a＝1，b＝C．a＝
，b＝
，c＝
B．a＝，b＝2，c＝ D．a＝7，b＝24，c＝25
，c＝
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数为（ ） A．60°
B．70°
C．80°
D．110°
6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A．AB＝BC，CD＝DA C．AB∥CD，∠A＝∠C
B．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
7．（3分）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
8．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（ ）
1 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．
B．
C．
D．
9．（3分）将一个边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四个剪法中，裁剪线的长度所标的数据不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
2 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
11．（3分）化简：12．（3分）若a＝2+
+（，b＝2﹣
）2＝ ．
，则ab的值为 ．
13．（3分）点D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长是16，则△DEF的周长是 ．
14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 ．
15．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，分别以AD、BD、CD为长对角线作全等的三个菱形，如图所示，若菱形较短的对角线的长为2，点G刚好在AE的延长线上，则其中一个菱形AEDF的面积为 ．
16．（3分）△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝m，AC＝n，∠ACB＝2∠BAD，用m、n表示AD的长为 ．
三、解答题（共72分） 17．（8分）计算下列各题：
3 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（1）（2）（3
﹣﹣2
+
）÷
18．（8分）已知：如图，点E、F分别是▱ABCD中AB、DC边上的点，且AE＝CF，连接DE、EF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
19．（8分）已知：x＝
﹣1，求代数式x2+5x﹣6的值．
20．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上． （1）直接写出AC的长为 ，△ABC的面积为 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹； （3）求BD的长．
21．（8分）已知：如图，矩形ABCD的对角线交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5．
（1）若BC＝6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长；
（2）点D在BC的延长线上，且BC：CD＝2：3，若AD＝10，求证：△ABD是直角三角形．
4 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
23．（10分）▱ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB． （1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形； （2）当n＝时，求证：∠AFE＝90°；
（3）当CE＝CF，DF＝4，BE＝3时，直接写出线段EF的长为
．
24．（12分）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．
①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长； ②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值： ．
5 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2019-2020学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式满足的条件对各选项进行判断． 【解答】解：只有
＝2，
＝
，
＝
，
为最简二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式：把满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2．（3分）使二次根式A．x≠2
有意义的x的取值范围是（ ） B．x＞2
C．x≤2
D．x≥2
【分析】利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【解答】解：∵二次根式∴x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点． 3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．
﹣
＝
B．
+
＝
C．3
﹣
＝2
D．2+
＝2
有意义，
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式再合并判断即可． 【解答】解：A、B、C、D、
，错误，不符合题意；
，错误，不符合题意； ，正确，符合题意； ，错误，不符合题意；
6 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的加减，关键是先把各个二次根式化成最简二次根式再合并解答．
4．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A．a＝1，b＝C．a＝
，b＝
，c＝
B．a＝，b＝2，c＝ D．a＝7，b＝24，c＝25
，c＝
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【解答】解：A、12+（选项错误；
B、22+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误； C、（
）2+（
）2≠（
）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此）2＝（
）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此
选项正确；
D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误． 故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数为（ ） A．60°
B．70°
C．80°
D．110°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：画出图形如下所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， 又∵∠A﹣∠B＝40°， ∴∠A＝110°，∠B＝70°， ∴∠C＝∠A＝110°．
7 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，难度一般．
6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ） A．AB＝BC，CD＝DA C．AB∥CD，∠A＝∠C
B．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，
C选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D， 所以只有C能判定． 故选：C．
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有： 1、四边形的两组对边分别平行； 2、一组对边平行且相等； 3、两组对边分别相等； 4、对角线互相平分；
5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
7．（3分）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
8 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． B．4 C． D．5
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
【解答】解：如图，它运动的最短路程AB＝故选：C．
＝
，
【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出．
8．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接BF、BD，根据菱形ABCD的边长为2，可得AB＝BC＝CD＝2，由∠A＝60°，可得△BCD是等边三角形，进而可求∠DBF＝90°，再根据勾股定理分别求出BF、PF的长，进而可得PB的长． 【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵菱形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝CD＝2， ∵∠A＝60°，
9 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝2，∠DBC＝60°， ∴∠DBA＝60°， ∵点G为AB的中点， ∴菱形BEFG的边长为1， 即BE＝EF＝BG＝1，
∵点E在CB的延长线上，∠GBE＝60°， ∴∠FBG＝30°， 连接EG，
∴EG⊥FB于点O， ∴OB＝∴FB＝
， ，
∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°， 根据勾股定理，得 DF＝
＝
，
∵点P为FD的中点， ∴PB＝DF＝故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9．（3分）将一个边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四个剪法中，裁剪线的长度所标的数据不可能的是（ ）
．
10 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． B．
C． D．
【分析】直接验证三角形三边的平方之间的关系即可作出判断． 【解答】解：对于A选项，理；
对于B选项，102+42＜112，说明边长为11的边所对的角是钝角，这个时候三角形不可能完全处在正方形内，故不合理； 对于C选项，
，且
，三角形为锐角三角形，合理；
，三角形为锐角三角形，合
对于D选项，62+72＜102，说明边长为10的边所对的角为钝角，合理． 故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理．正确判断各三角形的形状是解答的关键．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接HF，直线HF与AD交于点P，根据正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2，5x2，可得GF＝2x，
11 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
根据折叠可得正方形ABCD的面积为24x2，进而求出FM，最后求得结果． 【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5， 设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2，5x2， ∴GF2＝4x2， ∴GF＝2x， ∴HF＝由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：4x2+4×5x2＝24x2， ∴PM2＝24x2， ∴PM＝2
x，
x﹣2
x）＝（
﹣
）x，
＝2
x，
∴FM＝PH＝（PM﹣HF）＝（2∴
＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了剪纸问题，解决本题的关键是掌握对称的性质． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）化简：
+（
）2＝ 10 ．
【分析】根据二次根式的性质计算． 【解答】解：原式＝5+5 ＝10．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 12．（3分）若a＝2+
，b＝2﹣
，则ab的值为 1 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
12 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【解答】解：∵a＝2+∴ab＝（2+＝4﹣3 ＝1． 故答案为：1．
，b＝2﹣）
，
）×（2﹣
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 13．（3分）点D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长是16，则△DEF的周长是 8 ．
【分析】据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答． 【解答】解：如图，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴ED、FE、DF为△ABC中位线， ∴DF＝BC，FE＝AB，DE＝AC；
∴DF+FE+DE＝BC+AB+AC＝（AB+BC+CA）＝×16＝8， 故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．
14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为 3﹣
．
13 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【解答】解：连接AB，AD，如图所示： ∵AD＝AB＝∴DE＝∴CD＝3﹣
．
．
＝2＝
， ，
故答案为：3﹣
【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB，DE是解决问题的关键． 15．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，分别以AD、BD、CD为长对角线作全等的三个菱形，如图所示，若菱形较短的对角线的长为2，点G刚好在AE的延长线上，则其中一个菱形AEDF的面积为 2
+2 ．
【分析】如图所示，连接HG，设EG交DH于点K，先证明△GDE是等腰直角三角形，再证明∠GKD＝90°，从而在Rt△GHK中，由勾股定理得x2+
＝4，求得x2
的值，再根据菱形的面积等于底乘以高，得出菱形BGDH的面积，即菱形AEDF的面积． 【解答】解：如图所示，连接HG，设EG交DH于点K，则HG＝2，
14 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∵三个菱形全等，
∴GD＝ED，∠ADE＝∠BDG， ∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠GDE＝∠BDG+∠BDE＝90°， ∴△GDE是等腰直角三角形， ∴∠EGD＝∠GED＝45°， ∵四边形AEDF为菱形， ∴AE∥DF，
∴∠EDF＝∠GED＝45°， ∴∠GDK＝45°， ∴∠GKD＝90°，
设GK＝DK＝x，则GD＝DH＝
x，HK＝
x﹣x， ＝4，
在Rt△GHK中，由勾股定理得：x2+解得：x2＝2+
，
x•x＝
∴菱形BGDH的面积为：DH•GK＝∴菱形AEDF的面积为：2故答案为：2
+2．
+2．
x2＝2
+2，
【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积计算、等腰直角三角形的判定及勾股定理在计算中的应用，明确菱形的性质及根据勾股定理构建方程是解题的关键．
16．（3分）△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝m，AC＝n，∠ACB＝2∠BAD，用m、n表示AD的长为 ．
15 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】延长BC至E，使CE＝AC，连接AE，根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAC，得到BC＝AC＝n，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：延长BC至E，使CE＝AC，连接AE， 则∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E， ∴∠CAE＝∠E＝∠ACB， ∵∠ACB＝2∠BAD， ∴∠E＝∠BAD， ∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B+∠E＝90°，即∠BAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝90°， ∵∠B+∠E＝90°，∠CAE＝∠E， ∴∠B＝∠BAC， ∴BC＝AC＝n， 由勾股定理得，AE＝
＝
，
＝2n×AD，
S△BAE＝×AB×AE＝×BE×AD，即m×
解得，AD＝，
故答案为：．
16 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的外角性质、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算下列各题： （1）（2）（3
﹣﹣2
+
）÷
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的除法法则运算． 【解答】解：（1）原式＝3＝
；
﹣2
﹣2
+
（2）原式＝3＝3
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（8分）已知：如图，点E、F分别是▱ABCD中AB、DC边上的点，且AE＝CF，连接DE、EF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，进而求出BE＝DF，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可． 【解答】证明：在▱ABCD中，则AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF，
17 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴AB﹣AE＝CD﹣CF， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出BE＝DF是解题关键． 19．（8分）已知：x＝
﹣1，求代数式x2+5x﹣6的值．
【分析】把x的值代入多项式进行计算即可． 【解答】解：当x＝x2+5x﹣6＝（＝5﹣2＝3
+1+5
﹣1，
﹣1）﹣6
﹣1）2+5（﹣5﹣6
﹣5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 20．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上． （1）直接写出AC的长为
，△ABC的面积为 9 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹； （3）求BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出线段BD即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）AC＝
＝
，
S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×1×4＝9， 故答案为
，9；
（2）如图所示，BD即为所求，
18 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（3）∵S△ABC＝AC•BD＝∴BD＝
．
BD＝9，
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，矩形ABCD的对角线交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．
【分析】先求出四边形OCED是菱形，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出OC＝OD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明． 【解答】证明：∵DE∥AC，即DE∥OC， CE∥BD，即CE∥OD． ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC，OD＝BD， 且AC＝BD， ∴OC＝OD．
∴四边形OCED是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等和一组邻边相等的平行四边形是菱形，需熟练掌握并灵活运用． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5．
（1）若BC＝6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，
19 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
求折痕MN的长；
（2）点D在BC的延长线上，且BC：CD＝2：3，若AD＝10，求证：△ABD是直角三角形．
【分析】（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，求得AD＝4，根据折叠的性质得到AM＝CM，AN＝AC＝，设AM＝CM＝x，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到BE＝CE＝BC，设BC＝2t，CD＝3t，AE＝h，得到BE＝CE＝t，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BD＝CD＝3， ∴AD＝4，
∵将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合， ∴AM＝CM，AN＝AC＝， 设AM＝CM＝x， ∴MD＝x﹣3， ∵AD2+DM2＝AM2， ∴42+（x﹣3）2＝x2， 解得：x＝∴MN＝
，
＝
＝
；
（2）如图2，过A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC，
20 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴BE＝CE＝BC， ∵BC：CD＝2：3，
∴设BC＝2t，CD＝3t，AE＝h， ∴BE＝CE＝t， ∵AB＝5，AD＝10，
∴h2+t2＝52，h2+（4t）2＝102， 联立方程组解得，t＝∴BD＝5
，
）2＝BD2，
（负值舍去），
∵AB2+AD2＝52+102＝125＝（5∴△ABD是直角三角形．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（10分）▱ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB． （1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形； （2）当n＝时，求证：∠AFE＝90°；
（3）当CE＝CF，DF＝4，BE＝3时，直接写出线段EF的长为
．
21 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【分析】（1）根据菱形的判定定理得到平行四边形ABCD为菱形，得到△ACD为等边三角形，证明△FAC≌△EAB，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，根据等边三角形的判定定理证明结论；
（2）延长AF至N，使DN＝AD，延长AF至P，使FP＝AF，延长BC、NP交于点H，根据菱形的判定定理得到四边形ABHN为平行四边形，根据（1）中结论解答； （3）延长EF交AD的延长线于G，延长FE交AB的延长线于H，作DM⊥FG于M，把△AFG绕点A顺时针旋转120°，得到△APH，求出PE的长，证明△FAE≌△PAE，根据全等三角形的性质得到EF＝PE，得到答案． 【解答】（1）证明：当n＝1时，AD＝AB， ∴平行四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∠CAB＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴AC＝AD＝AB， ∵∠EAF＝60°， ∴∠FAE＝∠CAB， ∴∠FAC＝∠EAB， 在△FAC和△EAB中，
，
∴△FAC≌△EAB（ASA） ∴AF＝AE， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：如图2，延长AF至N，使DN＝AD，延长AF至P，使FP＝AF，延长BC、
22 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
NP交于点H， ∵DN＝AD，FP＝AF， ∴DF是△ANP的中位线， ∴NP∥AB，又AN∥BH， ∴四边形ABHN为平行四边形， ∵AB＝AN，
∴平行四边形ABHN为菱形， 由（1）可知，△APE为等边三角形， ∵AF＝FP， ∴EF⊥AP， ∴∠AFE＝90°；
（3）解：如图3，延长EF交AD的延长线于G，延长FE交AB的延长线于H，作DM⊥FG于M，
把△AFG绕点A顺时针旋转120°，得到△APH， ∵CF＝CE，
∴∠CFE＝∠CEF＝30°， ∵AG∥BC，
∴∠G＝∠CEF＝30°， ∴∠G＝∠DFG，
∴DG＝DF，又DM⊥FG， ∴GM＝MF，
在Rt△DMF中，∠DFM＝30°， ∴DM＝DF＝2， 由勾股定理得，MF＝∴GF＝4
，
，
， ＝2
，
∴PH＝GF＝4
同理，∠BHE＝30°，EH＝3∴∠PHN＝60°， ∴∠NPH＝30°，
23 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴NH＝PH＝2∴EN＝EH﹣NH＝
， ，
＝6，
，
由勾股定理得，PN＝∴PE＝
＝
∵∠FAE＝60°，∠BAD＝120°， ∴∠DAF+∠EAB＝60°，
∴∠HAP+∠EAB＝60°，即∠EAP＝60°， ∴∠FAE＝∠EAP， 在△FAE和△PAE中，
，
∴△FAE≌△PAE（SAS） ∴EF＝PE＝故答案为：
， ．
【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、旋转变换的应用，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题
24 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
的关键．
24．（12分）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．
①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长； ②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值：
+1 ．
【分析】（1）设长方形的长与宽分别为a，b．根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可．
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，证明AC＝PG，PG＝BG即可解决问题． ②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K．想办法证明DM＝MD1，推出BM⊥DD1，求出OM，ON即可解决问题．
【解答】解：（1）设长方形的长与宽分别为a，b． 由题意：＝
，
∴a2＝2b2， ∴＝
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，
．
25 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∵∠PEB＝90°， ∴PE⊥BE，
∵BE⊥AC，BE⊥PE， ∴PG∥AC，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2
，AD∥BG，∠ABC＝90°，
∴四边形APGC是平行四边形， ∴PG＝AC＝∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠GBP， ∵∠APB＝∠GPB， ∴∠GBP＝∠GPB， ∴GP＝GB＝2
，
﹣2
．
＝
＝2
，
∴AP＝CG＝BG＝BC＝2
②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K，连接BD1．
∵BC＝BC1，
26 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴∠BCC1＝∠BC1C， ∵∠BC1D1＝∠BCD＝90°，
∴∠D1C1K+∠BC1C＝90°，∠BCC1+∠DCC1＝90°， ∴∠D1C2K＝∠DCC1， ∵CD＝C1D1，CC1＝C1K， ∴△DCC1≌△D1C1K（SAS），
∴DC1＝KD1＝JD1，∠CC1D＝∠C1KD1，
∵∠JKD1+∠C1JKD1＝180°，∠CC1D+∠DC1M＝180°， ∴∠DC1M＝∠D1KJ， ∵D1J＝D1K， ∴∠J＝∠D1KJ， ∴∠J＝∠DC1M， ∵∠D1MJ＝∠DMC1， ∴△D1MJ≌△DMC1（AAS）， ∴D1M＝DM′， ∵BD＝BD1， ∴BM⊥DD1，
取BD的中点O，连接OM，ON， ∵∠BMD＝90°， ∴OM＝BD＝
，
∵BO＝OD，BN＝CN， ∴ON＝CD＝1， ∵MN≤OM+ON， ∴MN≤
+1．
+1．
∴MN的最大值为故答案为
+1．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27 / 28
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
28 / 28
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容