等差数列的前n项和(一)

[学习目标] 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．

知识点一 数列前n项和的概念

把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn. a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)． 思考 由Sn与Sn－1的表达式可以得出

Sn－Sn－1 n≥2an＝.

S1 n＝1

知识点二 等差数列前n项和公式、推导和认识

na1＋an1．公式：若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝.

22．若首项为a1，公差为d， 1

则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.

23．推导：(方法：倒序相加法) 过程：Sn＝a1＋a2＋…＋an， Sn＝an＋an－1＋…＋a1，

∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1， ∴2Sn＝n(a1＋an)， na1＋an∴Sn＝.

2

4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式 (1)公式的变形

nn－1dd2d

Sn＝na1＋＝n＋(a1－)n.

222(2)从函数角度认识公式

①当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项； ②当d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数． (3)结论及其应用

已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，

若C＝0，则数列{an}为等差数列； 若C≠0，则数列{an}不是等差数列．

思考 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( ) A．－2 C．1 答案 A

解析 S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝6， ∴a2＝2，

又a1＝4，∴d＝－2.

知识点三 等差数列前n项和的性质

Snd

1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列n也是等差数列，且公差为.

2

1

B．－

3D．3

2．若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

anS2n－1

3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.

bnT2n－14．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶an＋1

S偶－S奇＝nd，＝.

S奇an

5．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1， S偶n

S偶－S奇＝－an＋1，＝.

S奇n＋1

思考 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和是________． 答案 210

解析 设{an}的前3m项和是S，

Sm，S2m－Sm，S3m－S2m分别为30,70，S－100. 由性质知30,70，S－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S－100)， ∴S＝210.

题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算

例1 在等差数列{an}中．

53

(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.

62(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.

53

(na1＋an6－2)

解 (1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.

22531

又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.

6261

∴n＝15，d＝－.

6

8a1＋a884＋a8

(2)由已知得S8＝＝＝172，

22解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5.

反思与感悟 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． 跟踪训练1 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.

5×4S5＝5a1＋2d＝5，

解 (1)解得a1＝－5，d＝3.

a6＝a1＋5d＝10，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

10×9

S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.

2(2)S17＝

17×a1＋a1717×a3＋a1517×40

＝＝＝340.

222

题型二 等差数列前n项和性质的应用

例2 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63

Sn7na5

(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则等于( )

Tnn＋3b527021

A．7 B. C. D.

3134

Sn

(3)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项

n的和为________． 答案 (1)C (2)D (3)75

777

解析 (1)S7＝(a1＋a7)＝(a2＋a6)＝(3＋11)＝49.

222a1＋a92a5S97×921

(2)＝＝＝＝. b5b1＋b9T99＋34

2

n3＋2n＋1

(3)∵Sn＝＝n(n＋2)．

2

SnSn

∴＝n＋2，数列{}是以首项为3，公差为1的等差数列， nn10×9Sn

∴{}的前10项和为10×3＋×1＝75.

n2反思与感悟 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝

na1＋an

，设法求出整体a1＋an，再代入求解． 2

(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，SnSn

B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．

nn(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．

跟踪训练2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B

解析 由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45.

(2)已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n>1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－a9

2)，求的值．

b9

a1＋a17

×172a92a9a1＋a17S17

解 方法一 ＝＝＝＝

b92b9b1＋b17b1＋b17T17

×1722×17＋1355＝＝＝. 3×17－2497

方法二 ∵数列{an}，{bn}均为等差数列， ∴Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n. Sn2n＋1又＝， Tn3n－2∴令Sn＝tn(2n＋1)，

Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R. ∴an＝Sn－Sn－1

＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1) ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1) ＝t(4n－1)(n≥2)， bn＝Tn－Tn－1

＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5) ＝t(6n－5)(n≥2)． ant4n－14n－1∴＝＝， bnt6n－56n－5a94×9－1355∴＝＝＝. b96×9－5497

题型三 等差数列前n项和公式在实际中的应用

例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：

(1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？

解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}， 由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板 a9＝a1＋(9－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)． (2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板 99－19×8

S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．

22答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．

反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．

跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 答案 2 000

解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 9×810×9

S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000 米．

22

1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A．12 B．24 C．36 D．48 答案 B

10a1＋a10

解析 S10＝＝5(a1＋a10)＝120，

2∴a1＋a10＝24.

2

2．已知数列{an}中，a23＋a8＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于( )

A．－1 C．－13 答案 D

解析 易知(a3＋a8)2＝9. ∵an<0，∴a3＋a8＝－3.

B．－11 D．－15

10a1＋a1010a3＋a8∴S10＝＝＝－15.

22

3．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )

A．5 B．6 C．7 D．8 答案 B

解析 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋an－1＋an－2＋an－3＝156， ∴4(a1＋an)＝280， ∴a1＋an＝70.

na1＋ann

又S＝＝×70＝210，∴n＝6.

22

4．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a2S5＝10，则a9的值是________． 2＝－3，答案 20

解析 设等差数列{an}公差为d，由题意可得： a1＋（a1＋d）2＝－3，a1＝－4，

解得 5×4

d＝3，5a1＋2d＝10，

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.

5．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，则等差数列{an}从第100项到第200项之和S的值为________．

答案 30 603 解析 ∵a100＝203，

101×100

∴S＝203×101＋×2＝30 603.

2

1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap的应用． 3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．