2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( ) A．[2,3] C．[3，＋∞)
B．(－∞，2]∪[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
22．[2016·西安市八校联考]设z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z＝( )
zA．i B．2－i C．1－i D．0
π1π
x＋＝，则cosx＋cos( －x )的值为( ) 3．[2017·福建质检]已知sin333A．－
3311
B. C．－ D. 3333
4．[2016·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n
－1
＋a2n<0”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和
平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
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11－－321log3
6．[2017·江西南昌统考]已知a＝2 ，b＝(22) ，c＝πsinxdx，则实数a，b，c的大小关系
4
0
是( )
A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a
7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于( )
A．17 B．16 C．15 D．13
x＋y－1≥0，8．[2017·湖北武汉调研]已知x，y满足x－2y－4≤0，
2x－y－2≥0，则实数m的取值范围为( )
1
0， A.21－∞， C.2
1
－∞， B.2
D．(－∞，0]
y＋1
如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，
x－m
9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是( )
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A．110 B．116 C．118 D．120
→→
10．[2017·山西太原质检]设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) →1→4→A.AD＝－AB＋AC
33→4→1→
C.AD＝AB＋AC
33
→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
x2y2
11．[2017·河南郑州检测]已知点F2、P分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点与右支上的一点，
ab→1→→→→→→
22
O为坐标原点，若OM＝(OP＋OF2)，OF2＝F2M，且2OF2·F2M＝a2＋b2，则该双曲线的离心率为( )
2
A.
3＋13
B. C.3 D．23 22
＋
12．[2017·山西联考]已知函数f(x)＝(3x＋1)ex1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是( )
5A.e，2 18
－，－2 C.3e2
58
－，－2 B.3e2e5－4e，－ D.2e
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第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2017·济宁检测]已知(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为________．
1bn14．[2017·惠州一调]已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，n∈N*，则b2017＝________.
21－a2n15．[2017·河北正定统考]已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．
16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f(x)＝x＋sin2x.给出以下四个命题： ①∀x>0，不等式f(x)<2x恒成立；
②∃k∈R，使方程f(x)＝k有四个不相等的实数根； ③函数f(x)的图象存在无数个对称中心；
④若数列{an}为等差数列，f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，则a2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1
17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cosC，
ab＝1.
(1)若A＝90°，求△ABC的面积； (2)若△ABC的面积为
18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩正式实施，这次人口与生育的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排(单位：周) 有生育意愿家庭数 14 4 15 8 16 16 17 20 18 26 3
，求a，c. 2
(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．
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19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．
(1)证明DF⊥AE；
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为的位置；若不存在，说明理由．
20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F1(－1,0)、F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|＝3.
(1)求椭圆C的方程；
→→5(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，且满足PM·PN＝？若存在，求
4出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
1
21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，g(x)＝(x＋1)ln (x＋1)
21
－x＋(a－1)x2＋x3(a∈R)．
6
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
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14
？若存在，说明点D14
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请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，M(－2,0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(ρ，θ)π
ρ，θ＋，|BM|＝1. 为曲线C上一点，B3
(1)求曲线C的直角坐标方程； (2)求|OA|2＋|MA|2的取值范围．
23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
若∃x0∈R，使关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T. (1)求集合T；
(2)若m>1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．
参(三)
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( ) A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞) 答案 D
解析 集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．
2
2．[2016·西安市八校联考]设z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z＝( )
z
A．i B．2－i C．1－i D．0 答案 D
21－i22
解析 因为－z＝－1＋i＝－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故选D.
z1＋i1＋i1－i
π1π
x＋＝，则cosx＋cos( －x )的值为( ) 3．[2017·福建质检]已知sin333
3311
A．－ B. C．－ D.
3333
答案 B
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π1π311333x＋＝sinx＋cosx＝，所以cosx＋cos－x＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋解析 因为sin323232222
331
sinx＝3cosx＋sinx＝，故选B.
223
4．[2016·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n
－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C
－－－－
解析 由题意得，an＝a1qn1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n2＋a1q2n1＝a1q2n2(1＋q)．若q<0，因为1＋q
－
的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，选C.
5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案 D
解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D错误．
11－－32log3
22πsinxdx，则实数a，b，c的大小关系6．[2017·江西南昌统考]已知a＝2 ，b＝() ，c＝14
0
是( )
A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案 C
111111－ － 32131611216log322解析 因为a＝2 ＝2 ＝4 ，b＝() ＝3－2＝3 ＝27 ，所以a>b，排除B、
1 π
1π11112D；c＝sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝＝4 ，所以b>c，所以a>b>c，选C. 44420
0
7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10
＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出
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的n等于( )
A．17 B．16 C．15 D．13 答案 A
解析 当n>10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n＝17，故选A. x＋y－1≥0，
8．[2017·湖北武汉调研]已知x，y满足x－2y－4≤0，
2x－y－2≥0，则实数m的取值范围为( )
10， A.2
1－∞， C.2
答案 C
y＋1
如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，
x－m
1－∞， B.2
D．(－∞，0]
y＋1
解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z＝的几何意义为可行域内
x－m
x＋y－1＝0，
的点(x，y)与A(m，－1)连线的斜率，由
x－2y－4＝0，
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x＝2，得即B(2，－1)．由题意知m＝2不符合题意，故点A与点B不重合，因而当连接AB时，y＝－1，
1
，－1，在点A由点C向左移动的过程中，可斜率取到最小值0.由y＝－1与2x－y－2＝0，得交点C21
行域内的点与点A连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z∈[0,2)，则m<，故选C.
2
9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是( )
A．110 B．116 C．118 D．120 答案 D
解析 如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，
1
N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高
2
为8，体积V＝15×8＝120.故选D.
→→
10．[2017·山西太原质检]设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) →→1→4→1→4→A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC
3333
→4→1→→4→1→C.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC
3333
答案 A
→→→→4→→4→→1→4
解析 利用平面向量的线性运算法则求解.AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋
3333
→
AC，故选A.
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x2y2
11．[2017·河南郑州检测]已知点F2、P分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点与右支上的一点，
ab
→1→→→→→→
22O为坐标原点，若OM＝(OP＋OF2)，OF2＝F2M，且2OF2·F2M＝a2＋b2，则该双曲线的离心率为( )
2
3＋13A. B. C.3 D．23
22答案 A
→1→→
解析 设双曲线的左焦点为F1，依题意知，|PF2|＝2c，因为OM＝(OP＋OF2)，所以点M为线段PF2
2
→→→→c21122
的中点．因为2OF2·F2M＝a＋b，所以OF2·F2M＝，所以c·c·cos∠PF2x＝c2，所以cos∠PF2x＝，所
222
以∠PF2x＝60°，所以∠PF2F1＝120°，从而|PF1|＝23c，根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，所以
3＋1c1
23c－2c＝2a，所以e＝＝＝，故选A.
a23－1
＋
12．[2017·山西联考]已知函数f(x)＝(3x＋1)ex1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是( )
5－5，－82 ，2 A.B.3ee2e18－4e，－5 －，－2 C.D.3e2e2答案 B
＋＋＋
解析 由f(x)≤0，得(3x＋1)·ex1＋mx≤0，即mx≤－(3x＋1)ex1，设g(x)＝mx，h(x)＝－(3x＋1)ex1，
4＋＋＋
则h′(x)＝－[3ex1＋(3x＋1)ex1]＝－(3x＋4)ex1，由h′(x)>0，得－(3x＋4)>0，即x<－，由h′(x)<0，
3
44
得－(3x＋4)<0，即x>－，故当x＝－时，函数h(x)取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y
33
＝h(x)，y＝g(x)的大致图象如图所示，当m≥0时，满足g(x)≤h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当m<0 时，要使g(x)≤h(x)的整数解只有两个，则需满足
－
h－2≥g－2，5e1≥－2m，即－2 h－3 m<－3e， 2 5 5858 即－≤m<－2，即实数m的取值范围是[ －，－2 )，故选B. 2e3e2e3e ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2017·济宁检测]已知(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为________． 答案 2 解析 令x＝1，可得2×(－1)＝a0，即a0＝－2； 令x＝2，可得(22＋1)×0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11， 即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2. 1bn 14．[2017·惠州一调]已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，n∈N*，则b2017＝________. 221－an 2017答案 2018 11bnbn111 解析 ∵an＋bn＝1，a1＝，∴b1＝，∵bn＋1＝，∴b＝＝，∴－＋n1 221－a21－1－bn22－bnbn＋1－1bn－1n 1111 ＝－1，又b1＝，∴＝－2，∴数列b－1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－n 2b1－1bn－1nn2017 －1，∴bn＝.故b2017＝. 2018n＋1 15．[2017·河北正定统考]已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________． 答案 2 a 解析 依题意得焦点F的坐标为4，0，设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线 0－1－4|KN| 的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MN|＝1∶3，所以|KN|∶|KM|＝22∶1，又kFN＝＝，kFN＝－ aa|KM|－04 4 ＝－22，所以＝22，解得a＝2. a 16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f(x)＝x＋sin2x.给出以下四个命题： ①∀x>0，不等式f(x)<2x恒成立； ②∃k∈R，使方程f(x)＝k有四个不相等的实数根； ③函数f(x)的图象存在无数个对称中心； ④若数列{an}为等差数列，f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，则a2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ③④ 解析 f′(x)＝1＋2cos2x，则f′(x)＝0有无数个解，再结合f(x)是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f(x)的大致图象为： ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ππ (1)令g(x)＝2x－f(x)＝x－sin2x，则g′(x)＝1－2cos2x，令g′(x)＝0，则x＝＋kπ(k∈Z)，则g6＝6π3π －<0，即存在x＝>0使得f(x)>2x，故①错误； 626 (2)由图象知不存在y＝k的直线和f(x)的图象有四个不同的交点，故②错误； kπkπ (3)f(a＋x)＋f(a－x)＝2a＋2sin2acos2x，令sin2a＝0，则a＝(k∈Z)，即(a，a)，其中a＝(k∈Z)均 22 是函数的对称中心，故③正确； (4)f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，则a1＋a2＋a3＋sin2a1＋sin2a2＋sin2a3＝3π， 即3a2＋sin(2a2－2d)＋sin2a2＋sin(2a2＋2d)＝3π， ∴3a2＋sin2a2＋2sin2a2cos2d＝3π， ∴3a2＋sin2a2(1＋2cos2d)＝3π， 3π3 ∴sin2a2＝－a， 1＋2cos2d1＋2cos2d2 3π3 则问题转化为f(x)＝sin2x与g(x)＝－x的交点个数． 1＋2cos2d1＋2cos2d 43－，－2，如果直线g(x)要与f(x)有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在而直线的斜率－3π1＋2cos2d 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，故a2＝π，④正确． 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cosC， a b＝1. (1)若A＝90°，求△ABC的面积； 3(2)若△ABC的面积为，求a，c. 2 a2＋b2－c22a2＋1－c21 解 (1)a＋＝4cosC＝4×＝， a2aba ∵b＝1，∴2c2＝a2＋1.(2分) 又∵A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝2，a＝3，(4分) 1112 ∴S△ABC＝bcsinA＝bc＝×1×2＝.(6分) 22221133 (2)∵S△ABC＝absinC＝asinC＝，则sinC＝. 222a13∵a＋＝4cosC，sinC＝， aa113 a＋2＋2＝1，化简得(a2－7)2＝0， ∴4aa ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 1271 a＋＝∴a＝7，从而cosC＝， a47 27 7＋1－2×7×1×＝2.(12分) 7 18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩正式实施，这次人口与生育的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排(单位：周) 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 (1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ (2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择． ①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率； ②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望． 41 解 (1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1＝＝；(2分) 20050 162 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2＝＝.(4分) 20025 (2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C25＝10(种)，(5分) 其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种， 63 由古典概型概率计算公式得P(A)＝＝.(7分) 105 ②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35. 11222 P(ξ＝29)＝＝0.1，P(ξ＝30)＝＝0.1，P(ξ＝31)＝＝0.2，P(ξ＝32)＝＝0.2，P(ξ＝33)＝＝0.2， 101010101011 P(ξ＝34)＝＝0.1，P(ξ＝35)＝＝0.1， 1010因而ξ的分布列为 ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 (10分) 所以E(ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分) 19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点． ∴c＝a2＋b2－2bccosC＝ (1)证明DF⊥AE； 14 ？若存在，说明点D14 (2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 的位置；若不存在，说明理由． 解 (1)证明：因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB. 因为AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，所以AB⊥平面A1ACC1. 因为AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC.以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 111 0，1，，F，，0，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)．(4分) 则有A(0,0,0)，E222→→→ 设D(x1，y1，z1)，A1D＝λA1B1且λ∈[0,1]，即(x1，y1，z1－1)＝λ(1,0,0)，则D(λ，0,1)，所以DF＝1－λ，1，－1. 22→→→111因为AE＝0，1，2，所以DF·AE＝－＝0，所以DF⊥AE.(6分) 22 14 (2)假设存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为. 14 → 由题意可知平面ABC的一个法向量为AA1＝(0,0,1)．(8分) 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则→ n·DF＝0， →111→11因为FE＝－2，2，2，DF＝2－λ，2，－1， →n·FE＝0， 所以 1－λx＋1y－z＝0，22 111 －x＋y＋z＝0，222 即1＋2λ y＝21－λz. x＝ 3 z， 21－λ 令z＝2(1－λ)，则n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF的一个法向量．(10分) → →14|AA1·n|14 因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，所以|cos〈AA1，n〉|＝＝， 1414→ |AA1||n| |21－λ|1417 即＝，解得λ＝或λ＝(舍去)，所以当D为A1B1的中点时满足要求． 249＋1＋2λ2＋41－λ214 14 故存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，此时D为A1B1的中点．(12 14分) 20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F1(－1,0)、F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|＝3. ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 (1)求椭圆C的方程； →→5 (2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，且满足PM·PN＝？若存在，求 4 出直线l1的方程；若不存在，请说明理由． x2y2 解 (1)设椭圆的方程是2＋2＝1(a>b>0)，则c＝1， ab22b ∵|BD|＝3，∴＝3， a 又a2－b2＝1，∴a＝2，b＝3， x2y2 ∴椭圆C的方程为＋＝1.(4分) 43 (2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k(x－2)＋1， y＝kx－2＋1， 由x2y2得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0， 4＋3＝1， 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 1 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)>0，所以k>－. 2 8k2k－116k2－16k－8 又x1＋x2＝，x1x2＝，(8分) 3＋4k23＋4k2 →→5因为PM·PN＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 4 5 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝， 4 5 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝， 4 16k2－16k－88k2k－14＋4k252－2·＋4(1＋k)＝所以＝. 3＋4k23＋4k243＋4k2 111 解得k＝±，因为k>－，所以k＝. 222 1 故存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.(12分) 2 1 21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，g(x)＝(x＋1)ln (x＋1) 2 1 －x＋(a－1)x2＋x3(a∈R)． 6 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 1 解 (1)函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，定义域为(－1，＋∞)，(2分) 2 x2 则f′(x)＝>0，所以f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分) x＋1 (2)由(1)知，当x≥0时，有f(x)≥f(0)＝0， 1 即ln (x＋1)≥x－x2. 2 111 x－x2＋2(a－1)x＋x2＝(2a－1)x.(6分) g′(x)＝ln (x＋1)＋2(a－1)x＋x2≥222 1 ①当2a－1≥0，即a≥时，且x≥0时，g′(x)≥0， 2 所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，且g(0)＝0， 1 所以当x≥0时，g(x)≥0，所以a≥符合题意．(8分) 2 ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 111 ②当a<时，令g′(x)＝ln (x＋1)＋2(a－1)x＋x2＝φ(x)，φ′(x)＝＋2(a－1)＋x＝ 22x＋1 x2＋2a－1x＋2a－1 ，(9分) x＋1 令x2＋(2a－1)x＋2a－1＝0，则其判别式 Δ＝(2a－1)(2a－5)>0， 1－2a－2a－12a－5 两根x1＝<0， 2 1－2a＋2a－12a－5x2＝>0， 2 当x∈(0，x2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(0，x2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x∈(0，x2)时，g′(x) 所以a<不符合题意． 2 1 ，＋∞.(12分) 综上所述，a的取值范围为2 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，M(－2,0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(ρ，θ) π ρ，θ＋，|BM|＝1. 为曲线C上一点，B3 (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)求|OA|2＋|MA|2的取值范围． 解 (1)设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， π13θ＋＝x－y， 所以xB＝ρcos322π31θ＋＝x＋y， yB＝ρsin3221331故Bx－y，x＋y. 2222 1331 由|BM|2＝1，得x－y＋22＋x＋y2＝1， 2222 整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.(5分) x＝－1＋cosα， (2)圆C：(α为参数)， y＝3＋sinα 则|OA|2＋|MA|2＝43sinα＋10， 所以|OA|2＋|MA|2∈[10－43，10＋43]．(10分) 23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 若∃x0∈R，使关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T. (1)求集合T； (2)若m>1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值． 解 (1)||x－1|－|x－2||≤|x－1－(x－2)|＝1， 所以|x－1|－|x－2|≤1，所以t的取值范围为(－∞，1]， 即T＝{t|t≤1}(5分) (2)由(1)知，对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，只需log3m·log3n≥tmax，所以log3m·log3n≥1， 又因为m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0， log3m＋log3n2log3mn2又1≤log3m·log3n≤ 2＝4(log3m＝log3n时取等号，此时m＝n)，(8分) 所以(log3mn)2≥4，所以log3mn≥2，mn≥9， 所以m＋n≥2mn≥6，即m＋n的最小值为6(此时m＝n＝3)．(10分) ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除 ----完整版学习资料分享----
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