矩阵方幂韵秩的一个恒等式及应用

维普资讯 http://www.cqvip.com 第８卷第４期　２００７年８月　北华大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＢＥＩＨＵＡ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖ０１．８　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．２００７　文章编号：１００９—４８２２（２００７）０４—０２９４—０５　矩阵方幂韵秩的一个恒等式及应用　杨忠鹏，林志兴　（莆田学院数学系，福建莆田　３５１１００）　摘要：应用分块矩阵的初等变换的方法，得到矩阵方幂的秩的一个恒等式，由此给出了矩阵为ｍ幂等矩阵与ｍ　对合矩阵的充分必要条件，推广改进了已有的相关结论．　关键词：分块矩阵；初等变换；矩阵秩；ｍ幂等矩阵；ｍ对合矩阵　中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　１　引　理　设　为数域Ｆ上所有　×　阶矩阵的集合，ｒａｎｋＡ为Ａ∈　的秩，Ｅ为单位矩阵．用ｄｉａｇ（ａ，Ｂ）　表示四分块的对角矩阵．矩阵秩的恒等式　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＝　，　当Ａ２＝Ａ∈　时；　（１．１）　ｒｎａｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）＝　，　当Ａ　＝Ｅ∈　时，　（１．２）　不仅是数学专业的高等代数课程的基本习题［１－２］，而且也成为非数学专业线性代数课程教学的内容［３　．　将矩阵秩的恒等式（１．１）或（１．２）作为判定幂等矩阵（或对合矩阵）的充要条件也是众多辅助书籍的共同选　择［５—８Ｉ．　当Ａ∈　，正整数　≥２时，如果Ａ　＝Ａ，且Ａ　≠Ａ（ｋ＝２，３，…，　一１），称Ａ为　幂等矩　阵；如果Ａ　＝Ｅ，且Ａ　≠Ｅ（ｋ＝１，２，…，　一１），称Ａ为　对合矩阵．　厦门大学２００６年招收攻读数学各专业硕士学位研究生综合基础Ⅱ（Ａ卷）中的第三题：　命题１．１设Ａ∈　，满足Ａ３＝Ｅ，试证　ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ　＋Ａ＋Ｅ）＝　．　（１．３）　文［９—１１］给出了三幂等矩阵秩的不同形式的等式：　命题１．２［９］设Ａ∈　，且Ａ３＝Ａ，则　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ　）＝　．　（１．４）　命题１．３　ＥｌＯ］设Ａ∈　，且Ａ３＝Ａ，则　ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）（Ｅ＋Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）Ａ＋ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）Ａ＝　，　（１．５）　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）Ａ＝ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）Ａ＝　ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）Ａ＝　，　（１．６）　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）＝２ｎ．　（１．７）　命题１．４１１１］设Ａ∈　，则　收稿日期：２００７—０３—２２　基金项目：福建省自然科学基金资助项目（Ｚ０５１１０５１）；福建省精品课程（２ｏ０６）——高等代数；莆田学院教学研究项目　（ＪＧ２００５２１）　作者简介：杨忠鹏（１９４７一），男，教授，主要从事矩阵代数研究．　维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期　杨忠鹏，等：矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用　２９５　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ａ。）＝ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ａ　）．　（１，８）　引理１．１设Ａ∈　证明　当Ａ　为ｍ幂等矩阵，则Ａ为ｍ～１对合矩阵当且仅当ｒａｎｋＡ：　．　＝Ｅ时，显然ｒａｎｋＡ＝　．当Ａ　＝Ａ，Ａ　≠Ａ（ｋ：２，３，…，ｍ一１），且ｒａｎｋＡ＝　，　必有Ａ　一　＝Ｅ；如果有ｋ０（１≤ｋ０≤　一２）使Ａ　ｏ＝Ｅ，那么Ａ　ｏ¨＝Ａ，且２≤是０　４－１≤　一１，矛盾　于Ａ为　幂等矩阵，这说明Ａ为　一１对合矩阵．　对四分块的初等矩阵…，记　。　［　：］＝Ｐ　ｃ　ｃＫ　，　［　］＝ｐ　ｃ２ｃ　Ｋ　、　［　］＝Ｐ　ｃ　，２　ｃ　ｃ　，［　。Ｅ］：Ｐ　ｃ２，　ｃ　ｃ　．　由文献［１，１２］有如下结果．　引理１．２分块矩阵Ｍ：［Ｍ　］∈Ｆｚ　ｚ”经过有限次分块矩阵的初等变换（左乘或右乘初等　分块阵）而得　，则ｒａｎｋＭ＝ｒａｎｋ　．　本文主要结果是给出与矩阵方幂有关的秩的一个恒等式，作为应用不仅可概括文献［１—１２］的相应结　果和命题１．１，而且可得到判定ｍ幂等矩阵、ｍ对合矩阵的充要条件．　２矩阵方幂的秩的恒等式　定理２．１设Ａ∈　，ｍ为正整数，则　ｒａｎｋＡ　４－ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＝ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）４－　，　．　２．１　ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）４－ｒｎａｋ（Ａ　一　４－Ａ　一　４－…＋Ａ＋Ｅ）＝ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）４－　，　２．２　ｒａｎｋＡ　４－ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）４－ｒａｎｋ（Ａ　一　４－Ａ　一　４－…＋Ａ＋Ｅ）＝ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）４－２ｎ　２．３　证明由式（１．９）有　Ｐ（１，２（一Ａ　））ｅ（２，１（Ｅ））ｄｉａｇ（Ａ，Ａ　一Ｅ）Ｐ（１，２（一Ａ　一　））Ｐ（２，１（Ａ））ｅ（２（一Ｅ））＝　［Ｌ　ＯＥ—Ａ　Ｅ　ｏｔ　ｌ　ｌ　］Ｅ　Ｊ　［Ｌ三ｏ　Ｏ　～Ａ　Ｅ～ｌ　　　ｅ　ｏ—ＡＥｍ　　］ｊ　［Ｌ　。Ａ　ＪＥ　Ｏ］　［Ｌ　Ｅ－　］。ＥＪ　。＝ｄｉａｇ　ｃＡ—Ａ　＋Ｉ，Ｅ，～，　这样由引理１．２可得到式（２．１）．　由式（１．９）又有　’Ｐ（２，１（Ｅ））ｄｉａｇ（Ａ—Ｅ，Ａ　一　４－Ａ　一　４－…＋Ａ　４－Ｅ）Ｐ（１，２（一Ａ　一　））：　ｆｌ　Ｅ　Ｅ儿Ｅ　ｏ　１『Ａ—Ｅ　０　Ａｍ一１　４－…ｏ　＋Ａ　４－Ｅ儿０　］『Ｅ—Ａ　］Ｅ　Ｊ　：　ｒ　Ａ—Ｅ　Ａｍ～一Ａｍ一１　１　【Ａ—Ｅ　２Ａ　一２＋Ａ　一３＋…＋Ａ＋Ｅ　ｊ　Ｍ１，　Ｍ・Ｐ（１＝２（＿２Ａｍ－３））＝［Ｌ　三－Ａ一—ＥＥ　３Ａ　２＿一Ａ　３ｍ＋Ａ＋－３　＿　一Ａ　　ｍ＋．＋…＋Ａ＋Ｅ－２．＿．＋Ａ，Ａｎ－＋１Ｅ　Ｍ２　Ｊ　。　，　类似可有　Ｍ２Ｐ（１，２（一３Ａ　一　））Ｐ（１，２（～４Ａ　一　））…Ｐ（１，２（一（７７ｌ一２）Ａ））＝　（Ａ—Ｅ　Ｌ　Ａ—Ｅ　３４　ＩＡ　＿４＋Ａ　一　＋…　一Ａ．　　。　一Ａ　～一Ａ＋Ａ　４－　］Ｅ　ｊ　Ｉ（，（Ｐ（１，２（一４一　Ａ，　－５一））…Ｐ（…（，１，２（一（　一２／７／一２）　）Ａ））：…：）＝…＝　『Ａ—Ｅ　ｍ一３）ａ　一‘　一　一Ａ。一…一Ａ　一　］『Ｅ—ｍ一２）ａ　一‘ｍ一　］一　Ｌ　Ａ—Ｅ　（＂ｚ一２）Ａｍ一（　一２　４－Ａ　４－Ｅ　儿Ｏ　Ｅ　ｊ　『Ａ—Ｅ　（＂ｚ一２）Ａ—Ａ２…・一Ａｍ一　］　Ｌ　Ａ—Ｅ　一１）Ａ＋Ｅ　ｊ＝Ｍｍ＿２．　维普资讯 http://www.cqvip.com 兰兰堡　旦签型兰　设Ｂ＝（７　一１）Ｅ—Ａ一…一Ａ　一　，此时　釜　堂　一（Ｅ—Ａ）＝　［　Ｅ一（Ｅ＋Ａ＋…＋Ａｍ－１）］（Ｅ—Ａ）：（Ｅ—Ａ）中－－Ｉ（Ａ　－　这样　Ｐ（１，２（一１　Ｂ））＾　２Ｐ（１，２（一（　一１）Ｅ））Ｐ（２，１（　（Ｅ—Ａ）））＝　一Ｅ），　Ｐ（１，２（一－－１－Ｂ））［－ＡＥ　ＥＥ　一２）　Ａ－Ａ２－￣‘　一一一一一（　一１　））Ａ＋Ｅ　Ａ＋一Ａ　］［ＯＥ一‘　Ｅ一　Ｅ］Ｐ（２，１（　（Ｅ—Ａ）））：　儿　Ｊ　一　一一ＥＥ　Ｂ加　Ｊ　（Ｅ—Ａ）ＥＥ　０］：Ｉｊ　ｌ１（　０Ａ～Ｅ）ｏ］　加Ｊ　　这样由引理１．２知式（２．２）成立．进而由式（２．１），（２．．２）有　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ　一　＋Ａ　一　＋…＋Ａ＋Ｅ）＝　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＋，ｚ＝ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＋２ｎ，　即式（２．３）成立．　．　３矩阵秩恒等式的应用　引理３．１设Ａ∈　，　为正整数，则下述等价：　ｒａｎｋＡ十ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ　一　＋Ａ　一　＋…＋Ａ十Ｅ）＝２ｎ，　（３．１）　ｒａｎｋＡ十ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＝扎．　（３．２）　证明　当式（３．１）成立时，由式（２．２）可得式（３．２）；当式（３．２）成立时，由式（２．１）知Ａ　＝Ａ，这样　由式（２．３）可得式（３．１）．　引理３．２设Ａ∈　，　为正整数，则ｒａｎｋＡ＝，ｚ，且（３．１）成立当且仅当　ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ　一　＋Ａ　一　＋…＋Ａ＋Ｅ）＝，ｚ．　（３．３）　证明　当ｒａｎｋＡ＝，ｚ，且式（３．１）成立时，由弓『理３．１的结论知此时式（３．３）成立；当式（３．３）成立时，　由式（２．２）知Ａ　＝Ｅ，当然ｒａｎｋＡ＝，ｚ，且Ａ　＝Ａ，这样由式（２．３）得式（３．１）．　定理３．１设Ａ∈　，　为正整数，则　１）Ａ　＝Ａ当且仅当式（３．１）成立当且仅当式（３．２）成立．　２）Ａ　＝Ｅ当且仅当ｒａｎｋＡ＝，ｚ且式（３．１）成立当且仅当式（３．３）成立．　证明注意到引理３．１所表明的式（３．１）和式（３．２）的等价性，由式（２．１）可得结论１）．同理由引理　３．１和３．２所表明的等价事实，应用式（２．２）可得到结论２）．　由引理１．１知，在定理３．１的２）中将式（３．１）作为判定“Ａ　＝Ｅ”的充要条件时，附加条件ｒａｎｋＡ＝　是必要的．这样关于ｍ＋１幂等矩阵和ｍ对合矩阵的判定，可用统一的方法来处理．　当　＝１，　：２时，由定理３．１的１），２）可分别得到文［１—８］的应用矩阵秩的等式给出关于Ａ　＝Ａ、　Ａ　＝Ｅ的必要条件及充要条件；在定理３．１的２）和式（３．３）中取　＝３，可知命题１．１中的式（１．３）也是　Ａ３＝Ｅ的充分条件；在定理３．１的１）和式（３．２）中取ｍ＝２，可知文［９］得到的命题１．３中的式（１．４）也　是Ａ３＝Ａ的充分条件．　定理３．２设Ａ∈　，　为正整数，则　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ　＋Ｅ）＝ｒａｎｋ（Ａ＋Ａｍ斗　）＋，ｚ，　为奇数时；　（３．４）　ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ　一Ａ　一　＋…＋（一１）　ｍ一　＋…＋Ａ　一Ａ＋Ｅ）＝　ｒａｎｋ（Ａ　＋Ｅ）＋，ｚ，　为偶数时；　（３．５）　ｒａｎｋ＇（Ａ＋Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ　一Ａ　一　＋…＋（一１）　ｍ一　＋…＋Ａ　＋Ａ—Ｅ）＝　ｒｎａｋ（Ａ　¨＋Ｅ）＋，ｚ，　为奇数时．　（３．６）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期　杨忠鹏，等：矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用　２９７　证明从ｒａｎｋＢ＝ｒａｎｋ（一Ｂ）知，将式（２．１），（２．２）中Ａ用一Ａ代替即可得式（３．４）～（３．６）．　当　＝２时，由式（２．１），（２．２），（３．４）得　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＝ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ２一Ｅ）一　＝　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）一２ｎ＝　［ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（ａ—Ｅ）一　］＋［ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）一　］＝　ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ａ　），　这说明文献［１１］所得的命题４中的式（１．８）可由本文的主要结果得到．进而有如下结果．　推论３．１　设Ａ∈　．则Ａ＝Ａ　当且仅当ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ａ　）＝ｒａｎｋＡ．　当Ａ＝Ａ　时，在式（２．３）中取　＝２，可得到由文献［１０］得到的命题１．３ｏｅ的式（１．７），且此时由本文　结果可得到式（１．８）和式（２．１）．又由　’　．　ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ａ　）＝　ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＋ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＝　ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＋ｒａｎｋＡ＝ｒａｎｋ（Ａ—Ａ　）＋　＝　，　即可得由文［１Ｏ］得到的命题１．３ｏｅ的式（１．５）．　例３．１设Ａ＝ｄｉａｇ（１，一１，０，０），则Ａ　＝Ａ，从（Ｅ十Ａ）Ａ＝ｄｉａｇ（２，０，０，０）知　ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）Ａ＝３≠４．　上例说明当Ａ　＝Ａ时，文［１０］给出的命题１．３中的式（１．６）的最左边的式子并不等于相应矩阵的阶　数，但此时若在式（２．１），（３．４）中取ｍ＝１并由式（２．３）可得　ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）Ａ＝ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）＋ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）一　＝　，　ｒａｎｋ（Ｅ—Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｅ＋Ａ）Ａ＝ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋＡ＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）一　＝　，　这说明虽然文［１Ｏ］所得结论式（１．６）是有错误的，但式（１．６）的后两个等式是成立的．当然可看出其中命题　１．３的正确结果可由本文的结论得到．　定理３．３设Ａ∈　”，为正整数．则对任意自然数ｌ，志，有　１）ｒａｎｋＡ　＋ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）　＝　，如果Ａ　＝Ａ；　２）ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）　＋ｒａｎｋ（Ａ　一　＋Ａ　一　＋＋Ａ＋Ｅ）　＝　，如果Ａ　＝Ｅ．　证明　１）当Ａｍ斗　＝Ａ时，因为Ａ的极小多项式　＾（　）是化零多项式　一　的因式，即　（　）ｊ　（　一１），所以Ａ的初等因子都是一次的，这表明Ａ在复数域上可对角化，即有复数域上可逆　阵Ｐ使　Ａ＝Ｐｄｉａｇ（　１，…，　￡，　￡＋１，…，　）Ｐ一　，　１＝…＝　￡＝０，　≠０，　ｉ＝ｔ＋１，…，　；（３．７）　从　ｉ（≠０）所对应的初等因子　一　Ｉ　（　一１）及　一　ｉ与　互素（即（　一　ｉ，　）＝１），知　一　Ｉ　一１，　即式（３．７）中　１＝…＝　＝０，　这样由式（３．７），（３．８）有　＝１，　ｉ＝ｔ＋１，…，　；　（３．８）　Ａ　＝Ｐｄｉａｇ（０，…，０，　：＋１，…，　）Ｐ～，（Ａ　一Ｅ）　＝Ｐｄｉａｇ（（一１）　，…，（一１）　，０，…，ｏ）ｅ～，　即ｒａｎｋＡ　＝ｒａｎｋＡ＝　一ｔ，ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）　＝ｒａｎｋ（Ａ　一Ｅ）＝ｔ，由式（２．１）知结论１）成立．　２）当Ａ　＝Ｅ时，从Ａ的极小多项式　Ａ（　）整除Ａ的化零多项式　一１，知Ａ的初等因子都是一次，　即类似于式（３．７）有　Ａ＝Ｐｄｉａｇ（　１，…，　￡，　￡＋１，…，　）Ｐ一　，　１＝…＝　￡＝１，　≠１，ｉ＝ｔ＋１，…，　．（３．９）　设　ｚ）＝　一　＋　一　＋…＋　＋１，则　一ｌ＝（　一１）ｆ（Ｉ）且初等因子　—　Ｉ（　一１）　）．　维普资讯 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２９８　北华大学学报（自然科学版）　第８卷　当　ｆ≠ｌ时，从（　—　，　—１）：１知　—　｛厂（　），即式（３．９）中　－厂（　）＝　，ｉ：１，２，…，ｔ，　且ｆ（ａ　）：０，ｉ＝ｔ＋１，…，：ｒ／．　（３．１０）　这样从式（３．７），（３．９），（３．１０）有　（Ａ—Ｅ）　：Ｐｄｉａｇ（Ｏ，…，０，（　＋１—１）　，…，（　一１）　）Ｐ～，　（Ａ　一　＋Ａ　一　＋…＋Ａ＋Ｅ）　＝Ｐｄｉａｇ（　，…，　，０，…，ｏ）Ｐ＿。，　即ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）　＝ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＝７ｚ—ｔ，ｒａｎｋ（Ａ　一　＋Ａ　一　＋…＋Ａ＋Ｅ）　＝ｔ　这样由式（２．２）可得结论２）．　在定理３．３的１），２）中分别取　＝１，　＝２，可得文［１２］的基本结论．　参考文献：　［１］北京大学数学系几何与代数研究室代数小组．高等代数［Ｍ］．第３版．北京：高等教育出版社，２００３：２０３，１９３　［２］张禾瑞，郝炳新．高等代数［Ｍ］．第４版．北京：高等教育出版社，１９９９：３０９．　［３］居余马．线性代数［Ｍ］．第２版．北京：清华大学出版社，２００２：１５４．　［４］同济大学应用数学系．线性代数［Ｍ］．第４版．北京：高等教育出版社，２００３：１１０．　［５］许以超．线性代数与矩阵论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２：１０９．　［６］屠伯埙．线性代数：方法导引［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，１９８６：１０６，ＩＩＩ．　［７］曹重光，张显．高等代数方法选讲［Ｍ］．哈尔滨：哈尔滨出版社，２００１：２５４．　［８］姚慕生．高等代数［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００２：８６．　［９］鲍文娣，李维国．关于任意三矩阵秩的一点注ｉＥ［Ｊ］．苏州科技学院学报：自然科学版，２００５，２２（２）：３９—４３．　［１０］谢守波．关于Ａ　３＝Ａ型矩阵Ａ的对角化问题［Ｊ］．克山师专学报，２００３（３）：２１—２２．　［１１］史及民．关于Ｓｃｈｕｒ补应用的一点注记［Ｊ］．应用数学学报，２００２，２５（４）：３１８—３２１．　［１２］雷雪萍．高等代数中一道习题的推广［Ｊ］．大学数学，２００６，２２（４）：１６１—１６３．　Ａｎ　Ｉｄｅｎｔｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒａｎｋ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　Ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　Ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌ　ｉｃａｔｉｏｎ　ＹＡＮＧ　Ｚｈｏｎｇ—ｐｅｎｇ，ＬＩＮ　Ｚｈｉ－ｘｉｎｇ　（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｒｎｅｎｔ　ｏｆＰｕｔｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｐｕｔｉａｎ　３５１１００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｂｌｏｃｋ　ｍａｔｒｉｘ，ｗｅ　ｄｅｒｉｖｅ　ａｎ　ｉｄｅｎｔｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒａｎｋ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｒｅｂｙ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｎａｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　７　一ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｍ－ｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ，ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｏｃｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｂｌｃｏｋ　ｍａｔｒｉｘ；Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｒａｎｋ　ｏｆ　ａｍｔｒｉｘ；ｍ—ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ；，７ｚ—ｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ　【责任编辑：吕洪斌】