2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

数学

本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1 (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数y2xx0的反函数为

x2x2 (A)yxR (B) yx0

44 (C)y4x2xR (D) y4x2x0 3.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是 (A) ab1 (B) ab1 (C)ab (D) ab

4.设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2,Sk2Sk24，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数fxcosx0，将yfx的图像向右平移图像重合，则的最小值等于 (A)

2233个单位长度后，所得的图像与原31 (B) 3 (C) 6 (D) 9 36.已知直二面角l，点A,ACl,C为垂足，B,BDl,D为垂足，若

AB2,ACBD1，则D到平面ABC的距离等于

(A)

362 (B) (C) (D) 1

332- 1 -

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线ye (A)

2x1在点0,2处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为

112 (B) (C) (D) 1 3235 29.设fx是周期为2的奇函数，当0x1时，fx2x1x，则f (A) 1111 (B)  (C) (D) 2442210.已知抛物线C：y4x的焦点为F，直线y2x4与C交于A、B两点，则cosAFB

(A)

4433 (B) (C)  (D) 

555511.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为4，则圆N的面积为

(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 12. 设向量a,b,c满足ab1,ab (A) 2 (B)

1,ac,bc60，则c的最大值等于 23 (C) 2 (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1x20的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为 . 914. 已知5,，sin，则tan2 .

52x2y21的左、右焦点，点AC，点M的坐标为2,0，AM15. 已知F1、F2分别为双曲线C:927为F1AF2的角平分线，则 AF2 . 16. 已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1 的棱BB1、CC1上，且B1E2EB, CF2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c。已知AC90,ac2b，求C

- 2 -

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列an满足a10,111

1an11an （Ⅰ）求an的通项公式； （Ⅱ）设bn1an1n，记Snbk1nk，证明：Sn1。

21.（本小题满分12分）

y21在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的已知O为坐标原点，F为椭圆C:x22 - 3 -

直线l与C交于A、B两点，点P满足OAOBOP0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数fxln1x

2x，证明：当x0时，fx0 x219 （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20

19次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：p2

e10

- 4 -

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学试题参（不是标准答案）

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2． B 3． A 4． D 5．C

6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 13． 0 14． 24 15． 6 16．

33

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（本小题满分10分）

解：由AC90，得BAC故sinAsin由ac22C

CcosC，sinBsin2Ccos2C 222bsinAsinC2sinB，

故cosCsinC2cos2C，cosCsinC2cos2Csin2C

又显然C2，故cosCsinC222，再由cosCsinC1， 2解得：cosC62，于是C 412

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为x,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3

故10.5x0.3x0.6，

所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 110.510.60.8 （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为10.80.2 所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为pC1000.2XX0.8100X

显然，X服从二项分布，即X所以EX1000.220 X的期望为20

19.（本小题满分12分）

B100,0.2,

- 5 -

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AB//CD,BCCD ， 易算得：ADBD5，

又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2， 所以SDSA5AD,SDSB5BD 于是SDSA,SDSB, 所以SD平面SAB

（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，

因为SD平面SAB，所以SDAB,从而SDCD,

222222因而可以算得：SC2，又SBBC2，故SSBC7 2又因为CD//平面SAB,所以点C到平面SAB的距离为SD1

另外，显然SSBA3223， 4所以V四棱锥ASBC171dV四棱锥CSAB31 323得：d221 7设AB与平面SBC所成的角为，则

22121sin7，

27即AB与平面SBC所成的角为arcsin

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由

21（显然是锐角） 7111得：

1an11an数列111 是等差数列，首项为1a1a1n - 6 -

故

11a1n11n，从而a11n nn （Ⅱ）ba111n11nn1nn1nnn11n1nn1 n所以S11nbk121213k1n1n111n11

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：易知：F0,1，故：l:y2x1，代入椭圆方程得：4x222x10，设Ax1,y1,Bx2,y2,Px,y，则x21x22，y1y22x1x221， 因为OAOBOP0.所以x1,y1x2,y2x,y0,0

2x,yx22121x2,y1y22,1，将此坐标代入椭圆：221， 所以点P在C上。 （

Ⅱ

）

由

（

Ⅰ

）：

4x222x10及

l:y2x1，A26312613,p2,1Q2,142,B,42，因为2，所以2 于是可以算得：kAP226，kAQ622，kBP226，kBQ622tanPBQ42,tanAPB236,tanPAQ42tanAQB236 于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）x0时，fx12x22xx21xx22x1x220， 于是fx在0,上单调增，所以fxf00 （Ⅱ）p1009982819998100208110019 - 7 -

得

9981(9881)100199190 （共有

191919对数相乘） 29029029029090199x0 191910010010由（Ⅰ），1x0时，也有fxx2x1x220，

故fx在1,0上单调增，所以f1f00 1011992即fln5ln0

191010101910199即19ln2，两边同时取e的对数得：e22

e101019综上所述：p2

e10

1919 - 8 -