一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（ ） A．4：1
B．3：1
C．2：1
D．
：1
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1 C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似
3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△
AB′C′，则∠B′AC的度数为（ ）
A．30° B．50° C．20° D．40°
4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（ ） A．πcm
B．2πcm
C．4πcm
D．6πcm
5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数为（ ）
的度数等于120°，则∠ACP
A．40° B．35° C．30° D．45°
7．（4分）把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象
解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+4）2+1
D．y＝（x+4）2+5
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（ ） ①sin∠BAC＝a， ②cos∠BAC＝b， ③tan∠BAC＝．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为（ ） A．2
﹣2
B．
+1
C．1﹣
D．2
+2
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 ． 14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝ 厘米． 15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是 ．
16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 ．
17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为 ．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为 ．
三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）
19．（6分）（1）（2）若＝，求
tan60°﹣cos45°； 的值．
20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，
B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2（1）求出圆洞门⊙O的半径； （2）求立柱CE的长度．
，EF＝
，
＝120°．
22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交
CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若sinE＝
，求AB：EF的值．
24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．
（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；
（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．
25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．
（1）销售x只蛋糕的总售价为 元（用含x的代数式表示），并求y与x的函数关系式； （2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？
（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）与x轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与
y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．
（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴； （2）求⊙P的半径；
（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；
（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．
2019-2020学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试
卷
参与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（ ） A．4：1
B．3：1
C．2：1
D．
：1
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答． 【解答】解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为故选：D．
【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水
：1．
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1 C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似 【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；
B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故此选项错
误；
C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；
D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△
AB′C′，则∠B′AC的度数为（ ）
A．30° B．50° C．20° D．40°
【分析】根据旋转的性质可得∠BAB'＝∠CAC'＝50°，即可求∠∠B′AC的度数． 【解答】解：∵旋转
∴∠BAB'＝50°，且∠BAC＝30° ∴∠B'AC＝20° 故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（ ） A．πcm
B．2πcm
进行解答． ＝
C．4πcm
D．6πcm
【分析】根据弧长公式l＝【解答】解：此圆弧长为l＝故选：B．
cm，
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义． 6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数为（ ）
的度数等于120°，则∠ACP，
A．40° 【分析】连接OC，由
B．35° C．30° D．45°
的度数等于120°知∠AOC＝60°，根据OC＝OA可得△AOC是等边三角形，从
而知∠ACO＝60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO＝90°，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵的度数等于120°，
∴∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∵PC切⊙O于C， ∴∠PCO＝90°， ∴∠ACP＝30°， 故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
7．（4分）把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+4）2+1
D．y＝（x+4）2+5
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y＝（x﹣2）2+3再向下平移2个单位，
所得的图象解析式是：y＝（x﹣2）2+1． 故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答． 【解答】解：连接OD、OB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°， ∴40°≤∠BPD≤80°， ∴∠BPD不可能为90°， 故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，在Rt△ADE中，AE＝2DE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠DAE＝30°，进而解答即可． 【解答】解：∵纸片ABCD为矩形， ∴AB＝CD，
∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF， ∴AE＝AB，∠EAF＝∠FAB， 而E为DC的中点， ∴AE＝2DE，
在Rt△ADE中，AE＝2DE， ∴∠EAD＝30°，
∴sin∠EAD＝， 故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．
10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（ ） ①sin∠BAC＝a， ②cos∠BAC＝b， ③tan∠BAC＝．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题意和图形可以得到∠BDC的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到∠BAC的三角函数值，即可解答本题． 【解答】解：连接BD， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，BC＝a厘米，CD＝b厘米，⊙O的直径为1厘米， ∴sin∠BDC＝a，cos∠BDC＝b，tan∠BDC＝， ∴sin∠BAC＝a，故①正确， cos∠BAC＝b，故②正确， tan∠BAC＝，故③错误， 故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，利用切线的性质得OA＝OB＝r，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝30°，则AP＝＝120°，接着利用扇形面积公式得到S＝（行判断．
【解答】解：过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图， 则OA＝OB＝r，∠APO＝∠BPO＝30°， ∴AP＝
OA＝r，再利用四边形内角和计算出∠AOB﹣π）r2（r＞0），然后根据解析式对各选项进
OA＝r，
∵∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°， ∴S＝S四边形AOBP﹣S扇形AOB ＝2×r•
r﹣
＝（
﹣π）r2（r＞0），
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象． 12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为（ ） A．2
﹣2
B．
+1
C．1﹣
D．2
+2
【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值，本题得以解决．
【解答】解：当﹣x2+2≥﹣2x时， 解得，1﹣∴当1﹣2+2
≤x≤1+≤x≤1+；
，
时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣2x，此时，当x＝1﹣
时，﹣2x取得最大值﹣
当﹣x2+2≤﹣2x时， 解得，x≤1﹣∴当x≤1﹣大值﹣2+2
或x≥1+或x≥1+；
﹣2，
，
时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣x2+2，此时，当x＝1﹣
时，﹣x2+2取得最
由上可得，min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为2故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 【分析】用白球的个数除以球的总个数即可． 【解答】解：∵箱子里有7个白球、3个红球， ∴从中随机摸出一球是白球的概率是故答案为
．
＝
．
．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝ 10 厘米．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以c2＝4×25，解得c＝±10（线段是正数，负值舍去）， ∴c＝10cm， 故答案为：10
【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是 3＜r＜4 ． 【分析】根据勾股定理得到AC＝＜r＜4．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AC＝5，
∴r的取值范围是3＜r＜4． 故答案为：3＜r＜4
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键． 16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 2 ．
【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE问题即可解决．
【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F； 其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF； 则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF； ∵∠C＝90°，
∴四边形ODCF为正方形， ∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）； 由勾股定理得：
＝5，点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是3
AB2＝AC2+BC2＝36+＝100，
∴AB＝10；由切线的性质定理的：
AF＝AE，BD＝BE；
∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4， ∴R＝2，
它的内切圆半径为2．
【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为 20 ．
【分析】连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到∠ABP＝∠AQC，证明△ABP∽△AQC，根据相似三角形的性质定理计算即可． 【解答】解：连接QC， ∵PQ与⊙A相切于点B， ∴∠ABP＝90°， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AQC＝90°，
∴∠ABP＝∠AQC，又∠APB＝∠ACQ， ∴△ABP∽△AQC， ∴
＝
，
∴AP•AQ＝AB•AC＝20， 故答案为：20．
【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为
．
【分析】连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长． 【解答】解：连接PD，如图， ∵∠ECD＝90°， ∴DE为直径 ∴∠EPD＝90°， ∵CP＝CD， ∴∠CDP＝∠CED， ∵∠AEB＝∠CDP， ∴∠AEB＝∠CED， ∵AB＝CD，∠B＝∠ECD， ∴△ABE≌△DCE， ∴BE＝CE＝BC＝3， 在Rt△ABE中，AE＝∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴Rt△ADP∽Rt△EAB， ∴
＝
，即． ．
＝，
＝5，
∴AP＝故答案为
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）
19．（6分）（1）（2）若＝，求
tan60°﹣的值．
cos45°；
【分析】（1）将三角函数值代入计算可得； （2）由＝知y＝3x，代入计算可得． 【解答】解：（1）原式＝
（2）∵＝， ∴y＝3x， 则原式＝
＝．
×
﹣
×
＝3﹣1＝2；
【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质．
20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，
B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于
；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；
（2）画树状图如右图：
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种， 其中能使小灯泡发光的情况有6种， 小灯泡发光的概率是．
【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2（1）求出圆洞门⊙O的半径； （2）求立柱CE的长度．
，EF＝
，
＝120°．
【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题； （2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可； 【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA． ∵
的度数为120°，AO＝BO，
∴∠BOH＝×120°＝60°， ∴AH＝BH＝
，
，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝
∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC． ∵Rt△BOH中，OH＝1，
∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形， ∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1， 在Rt△OMC中，CM＝∴CE＝ME+CM＝1+＝∴立柱CE的长度为
， ．
＝，
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．
【分析】作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，设CN＝x，在Rt△BCE中利用正切定义得到BN＝CN＝
x，在Rt△ACN中，利用∠A的正切得到
算CN+MN即可．
＝tan30°＝，解得x＝700+700，然后计
【解答】解：作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图， 则MN＝600，AB＝1400，∠NAC＝30°，∠NBC＝45°， 设CN＝x，
在Rt△BCE中，∵tan∠NBC＝tan45°＝∴BN＝CN＝x，
在Rt△ACN中，tan∠NAC＝
，
，
∴＝tan30°＝，解得x＝700+700，
∴CM＝CN+MN＝700+700+600＝700+1300．
+1300）m．
答：海底C点处距离海面DF的深度为（700
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是
的中点，过点D作CB的垂线，分别交
CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若sinE＝
，求AB：EF的值．
【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；
的
（2）根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5x，则得出CA＝10x，CE＝13x，进而得出CE＝18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论． 【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为： 连接OD，如图所示： ∵AC为圆O的直径， ∴∠CBA＝90°， 又∵∠F＝90°， ∴∠CBA＝∠F＝90°， ∴AB∥EF，
∴∠AMO＝∠EDO， 又∵D为∴
＝
的中点， ，
∴OD⊥AB， ∴∠AMO＝90°， ∴∠EDO＝90°， ∵EF过半径OD的外端， 则EF为圆O的切线，
（2）在Rt△ODE中，sinE＝设OD＝OC＝OA＝5x， ∴CA＝10x，OE＝13x， ∴CE＝18x， ∵EF∥AB， ∴△ABC∽△ECF， ∴
＝
＝
＝
，
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键． 24．（10分）我们定义：三边之比为1：
：
的三角形叫神奇三角形．
（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；
（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．
【分析】（1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案； （2）根据相似三角形作图可得． 【解答】解：（1）由勾股定理得BC＝∴BC：AB：AC＝
：2：
＝1：
：
，
＝
、AB＝2、AC＝
＝
，
∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；
（2）如图所示：
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义． 25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．
（1）销售x只蛋糕的总售价为 （﹣2x2+170x） 元（用含x的代数式表示），并求y与x的函数关系式；
（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？
（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？
【分析】（1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做x只蛋糕的成本可得y关于x的解析式； （2）求出y＝1500时x的值即可得；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）销售x只蛋糕的总售价为（170﹣2x）x＝﹣2x2+170x（元）， 根据题意，得：y＝（﹣2x2+170x）﹣（500+30x）＝﹣2x2+140x﹣500， 故答案为：（﹣2x2+170x）；
（2）当y＝1500时，得：﹣2x2+140x﹣500＝1500， 解得：x1＝20、x2＝50， ∵x≤40， ∴x＝20，
即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；
（3）y＝﹣2x2+140x﹣500＝﹣2（x﹣35）2+1950， ∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝35时，y取得最大值，最大值为1950，
答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）与x轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与
y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．
（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴； （2）求⊙P的半径；
（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；
（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．
【分析】（1）分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；
（2）连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值，此题得解；
（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜
y＜2时，∠BDC＞90°；
（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线
段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长，此题得解． 【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）； 当x＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3， ∴点C的坐标为（0，3）；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． （2）连接CP、BP，如图1所示． 在Rt△BOC中，BC＝
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠BPC＝2∠OAC＝90°， ∴CP＝BP＝
＝
．
BC＝
．
，
∴⊙P的半径为
（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2， ∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣y）2]+[（0﹣1）2+（3﹣y）2]＝10， 整理，得：y2﹣3y+2＝0， 解得：y1＝1，y2＝2，
∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°．
（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示． ∵AC＝
＝3
，∠ACO＝45°，
，0），∠AC′O′＝45°，
．
∴点C′的坐标为（3﹣3
∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣3∵点E在线段CO上， ∴点F在线段C′O′上．
过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值． ∵△OC′F为等腰直角三角形， ∴OF＝
OC′＝（3﹣3）＝3﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；（3）利用极限值法求出点D纵坐标；（4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．
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