线性代数中矩阵的秩的应用探讨

高教视野　穆｜　辑　线性代数　雉降　秩　庶　探　谶　◎王桂英　（青海广播电视大学，青海西宁８１０００８）　现代科学技术的迅猛发展，计算机的广泛使用，使经济　学理论与数学的结合日益紧密，线性代数在人们的生产生　活中显得越来越重要，成为经济类、理工类学生学习的重要　课程．线性代数与线性方程组的求解密不可分．矩阵是研究　线性代数中各类问题的载体，是研究线性方程组的一个重　要概念．矩阵的秩义是矩阵研究的核心，是研究线性代数问　题的“试金石”．　此，对矩阵的秩的应用进行全面而深入的　目　：Ａ　Ａ　；　１　Ａ口　＋Ａ　Ａ口ｒ１一　Ａ　１　：　１　探讨就尤为重要．此外，线性代数比较抽象，矩阵的秩的知　识内容在教材中很分散，理论上又与其他知识点联系紧密，　这就为学生学习线性代数的知识带来困难，对矩阵的秩的　一ｓ　Ａ　　Ａ　一　应用难以掌握，矩阵的秩成了学习线性代数的重点和难点．　一、矩阵的秩的定义及等价定义　定义设矩阵Ａ中有一个不等于０的ｒ阶子式Ｄ，且所　Ａ—Ａ五Ａ＋Ａ　一　Ａ　Ａ　坚　有ｒ＋ｌ阶子式（若存在）全等于０，那么称Ｄ为矩阵Ａ的最　高阶非零子式，数ｒ称为矩阵Ａ的秩，记作Ｒ（Ａ）．并规定零　矩阵的秩等于０．显然矩阵Ａ的秩Ｒ（Ａ）就是Ａ中不等于０　的子式的最高阶数．　下面给出矩阵的秩的一组等价描述．　口　１　＋Ａ　口　目：：一Ａ　－。ａ＋Ａ　一Ａ３　－　Ａ　＋Ａ　目‘　命题１设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，则下面各结论等价：　（１）Ｒ（ａ）＝ｒ；　（２）Ａ的行向量组的秩等于ｒ；　（３）Ａ的列向量组的秩等于ｒ；　（４）Ａ的行空间的维数等于ｒ；　（５）Ａ的列空间的维数等于ｒ；　（６）ｎ元齐次线性方程组Ａｘ＝０的解空间的维数等于　ｎ—ｒ．　口　－２—３１－］口　ｏ一　一　口　肚昆一七］０　０　０　０６　口口０　０—０—０２ｔ日３　的同解的线性方程组』　臼［３Ｉ．１　１Ｉｎ－．Ｉ旷　口　二、矩阵的秩在线性代数中的应用探讨　一　’　（一）矩阵的秩在求解线性方程组中的应用　定理１给出了矩阵的秩与线性方程组解的判定之间的　关系，将线性方程组解的判定问题转化为计算系数矩阵与　增广矩阵的秩，判断系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等的　问题，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度．　定理１　ｎ元线性方程组Ａｘ＝ｂ．　为　甜　Ｒ　（１）无解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）＜Ｒ（Ａ，ｂ）；　（２）有唯一解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ，ｂ）＝ｎ；　（３）有无限多解的充分必要条件是Ｒ（ａ）＝Ｒ（ａ，ｂ）＜ｎ．　ｒ（１＋Ａ）　１＋　２＋　３：０，　例１　线性方程组｛　１＋（１＋Ａ）　２＋　３＝３，　【　＋　，＋（１＋Ａ）　＝Ａ．　问Ａ为何值时，此方程组（１）有唯一解；（２）无解；　（３）有无穷多解，并求其同解．　（下转４页）　数擘学习与研究２０１７。１　１　高教视野　秘错ｍ　・　一１．　●　ｌ　一　ｌ　＋‘一・　引导学生用级数的敛散性定义对以上两个例子进行解　决，从而巩固学习本节的核心知识点．　分析：通过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”来猜测这　个表达式的和存在且是１．　问题２：但是诗句毕竟是猜测，能否找到一个一般性的　并且可以操作的方法呢？　引导学生观察：　（三）注重应用。联系实际　问题和实例的使用不能仅仅限于课堂概念引入，在应　用中也要注重通过实例的分析提炼出数学思想方法，让学　生体会到数学知识和数学思想存在于我们的生活中．　如，对常数项级数的定义及敛散性的定义学习之后，教　师可以找一道应用题目，让学生体会到级数在生活中的　应用．　ｓ。＝÷　：÷＋｝，ｓ，：÷＋÷＋÷，…　＝÷＋　÷＋．．・＋　＝　一（÷）“．　当ｎ—　时可否用Ｊｓ　的极限代表÷＋　１＋…＋　＋　…（四）提炼数学思想，感受数学魅力　通过级数概念的学习及实际问题的解决，我们会感受　到有限和无限的相互转化，这在实际生活中似乎不可能的　问题，级数帮我们实现了．级数求和其实是把无限转化为了　∞　∞　的和？似乎也很合理，而且也有ｌｉｍＳ　＝１，这正好验证了　我们的推测．　问题３：那么无穷多个数相加，“和”一定存在吗？又　女口，１—１＋１一…＋（一１）　一‘＋…．　有限，即　Ｈ　＝ｌｉｍＳ　＝ｓ，而反过来ｓ＝　…　恰恰又是一　个有限数进行一个无限表达．而这个双向转化正是级数在　生活中的应用．　分析：通过级数通项特点，对其加括号，得到如下不同　的结论：　（１）（１—１）＋（１一Ｉ）…＋（１—１）＋…＝０７　（２）１＋（一１＋１）＋（一１＋１）…＋（一１＋１）＋…＝１　７　在这里我们会感受到数学的强大，而且也会感觉到数　学其实就在我们的生活中，与我们天天打交道．它虽然是用　符号和数字表达，但如果读懂了它，也会让我们明白很多生　活的道理，帮助我们更好地生活和工作．　一　再分析ＳＩ＝１，Ｓ２…１　１　０，Ｓ３＝１—１＋１＝１，…，　ｆ１，／７，为奇数；　０，ｎ为偶数．　・　在分歧和困惑下引导学生总结：无穷多个数相加“和”　不一定存在．接下来引出级数定义和级数的敛散性的定义　并强调概念中的关键点．　此后向学生揭示，前面遇到的问题其实就是级数求　“和”的问题．　１　１＋…＋　＋…著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之　微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数　学．”数学即生活．　让学生经常用数学的眼光看身边的事物，让他们对自　然和社会现象的好奇心、求知欲不断旺盛成长，使学生对数　学有一个较为全面、客观的认识，从而愿意亲近数学、了解　数学、谈论数学．　当然，以上主要是对教学环节的一些努力，对于三本的　，１—１＋ｌ一…＋　（一１）　＋…是两个常数项无穷级数，而级数的“和”是否　存在的问题就是级数的敛散性的问题，通过级数的敛散性　的定义可知这个问题的解决可以通过部分和的极限存在与　否来解决．　学生，由于他们自身知识基础的原因，还有主观的学习态度　和意志力的因素，所以，要想使学习效果更好的话，与学生　的交流和对学生的辅导也是不可少的．通过辅导和交流更　好地了解他们的学习困境以便于找到更好的对策．　（上接２页）　的矩阵的秩与向量的个数之间的关系问题，为用齐次线性　方程组解的相关理论判别线性方程组的线性相关性建立了　理论根据．实际上，向量ｂ被向量组ａ　，ａ：，…，ａ　线性表示，　就是非齐次线性方程组　ｌａｌ＋ｘ２ａ２＋…＋ｘｍａ　＝ｂ有解及　求解的问题．　两个向量组之间的关系问题远比一个向量组内部的关　系复杂得多，但矩阵的秩将这个问题的难度降低．定理２刻　画了具体的判别方法．　定理２向量组ｂ　，ｂ：，…，ｂ　能由向量组ａ。，ａ：，…，口　线性表示的充要条件是矩阵Ａ＝（ａ。，ａ　，…，ａ　）的秩等于　矩阵（Ａ，曰）＝（ａＩ，ａ２，…，ａ　，ｂｌ，ｂ　，…，ｂ　）的秩，即　Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ，曰）．　助向量空间的基和维数的概念，矩阵的秩从高处理解线性　方程组的解．定理３给出了线性方程组解的结构．　定理３设ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩ｎ（ａ）＝ｒ，则ｎ元齐次线　性方程组Ａｘ＝Ｏ的解集　的秩Ｒ（　）＝ｎ—ｒ，通解为　＝　ｋｌ　。＋　２　２＋…＋　…　…，其中　，　，…，　…为解集的最　大无关组，即　，　：，…，　…是方程组Ａｘ：０的基础解系．方　程组Ａｘ＝ｂ的通解为　＝ｋｊ　。＋　２　２＋…＋ｋ…　…　叼，其　中　。，　，…，　…是方程组Ａｘ：０的基础解系，ｋ　，ｋ　，…，　ｋ…为任意实数，叼是Ａｘ＝　的某个解．　三、小结　推论１　向量组ｂ　，ｂ２，…，ｂ　与向量组ａｌ，ｎ２，…，ａ　等　价的充要条件是　（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）：Ｒ（Ａ，Ｂ）．其中Ａ和曰是　向量组ｎ．，ａ：，…，口　和ｂ。，ｂ２，…，ｂ　构成的矩阵．　（三）矩阵的秩在线性方程组解的研究中的应用　矩阵的秩可借以求线性方程组Ａｘ＝０和Ａｘ＝ｂ的解．　可是，线性方程组Ａｘ＝０和Ａｘ＝ｂ的解的结构尚不明了．借　矩阵的秩、向量组的线性相关性与线性方程组的解是　脉相通的，无法割裂研究．向量组的最大无关组与向量组　的秩密切相关，向量空间的基，其实质就是向量空间的一个　最大无关组，向量组的秩等于其矩阵的秩，使矩阵的秩、向　一量空间的维数和基相联系．所以，研究矩阵的秩、向量组的　秩、向量空间的维数和线性方程组的解密切相关．本文主要　从矩阵的秩在线性代数中的应用进行讨论，使矩阵的秩在　线性代数中得到灵活应用，从而使有些数学问题简化．　数学学习与研究２０１７．１　１