人教A版高中数学必修4刷题练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第13课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

对应学生用书P29

知识点一 平移变换 π1．要得到函数y＝sin2x＋3的图象，只要将函数y＝sin2x的图象( )

π

A．向左平移3个单位长度 π

B．向右平移3个单位长度 π

C．向左平移6个单位长度 π

D．向右平移6个单位长度 答案 C

ππ

解析 因为y＝sin2x＋3＝sin2x＋，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移

6πππ

个单位长度，就可得到函数y＝sin2x＋＝sin2x＋663的图象．

π

2．将函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )

A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2x π

C．y＝1＋sin2x＋4 D．y＝cos2x－1

答案 B

ππ

解析 将函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位长度，得到函数y＝sin2x＋4π

的图象，即y＝sin2x＋2＝cos2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos2x．

π

3．为了得到函数y＝sin2x－6的图象，可以将函数y＝cos2x的图象( ) π

A．向右平移6个单位长度 π

B．向右平移3个单位长度 π

C．向左平移6个单位长度 π

D．向左平移3个单位长度 答案 B

πππ2π2ππ

解析 y＝sin2x－6＝cos2－2x－6＝cos3－2x＝cos2x－3＝cos2x－3．故选B．

知识点二 伸缩变换 π4．把函数y＝f(x)的图象向左平移4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函

数y＝sinx的图象，则y＝f(x)的解析式为( )

ππ

A．y＝sin2x－4＋1 B．y＝sin2x－2＋1

1π1πC．y＝sin2x＋4－1 D．y＝sin2x＋2－1

答案 B

1

解析 将函数y＝sinx的图象上每个点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函π

数y＝sin2x＋1的图象，再将所得图象向右平移4个单位长度，得到函数y＝sin2xππ

－4＋1＝sin2x－2＋1的图象．故选B．

1

5．将函数y＝2sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐1

标缩短为原来的2，则所得图象的函数解析式为________．

1

答案 y＝4sinx

1111横坐标伸长为1纵坐标缩短为1解析 y＝2sin2x原来的――→――→y＝4sinx．即2倍y＝2sin22x＝2sinx原来的

21

所得图象的解析式为y＝sinx．

4

知识点三 图象变换的综合应用 6．要得到函数y＝2cosx的图象，只需将函数y＝ π

2sin2x＋4图象上的所有点的( )

1π

A．横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度 1π

B．横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度 π

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4个单位长度 π

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8个单位长度 答案 C

π

解析 ∵y＝2cosx＝2sinx＋2， π纵坐标不变

∴y＝2sin2x＋4横坐标伸长到原来的――→2倍 π

y＝2sinx＋4错误! π

y＝2sinx＋2＝2cosx．

1

7．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的2，π

然后再将其图象沿x轴向左平移6个单位得到的曲线与y＝sin2x的图象相同，求f(x)的表达式．

解 解法一：(正向变换)

横坐标缩小到1y＝f(2x)沿x轴向左平π―――→→ 原来的2移―个单位

6

y＝f(x)

ππ

y＝f2x＋6，即y＝f2x＋3，

π

∴f2x＋3＝sin2x．

ππ

令2x＋3＝t，则2x＝t－3， ππ

∴f(t)＝sint－3，即f(x)＝sinx－3． 解法二：(逆向变换)

沿x轴向右π根据题意，y＝sin2x平移――→ 个单位6π横坐标伸长到原来的2倍

y＝sin2x－3――→ 纵坐标不变πy＝sinx－3．

π

8．已知函数f(x)＝sinωx－3(ω>0)的最小正周期为π．

(1)求ω的值；

(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；

(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？写出变换过程．

2π2π

解 (1)ω＝T＝π＝2．

π

(2)由(1)可知f(x)＝sin2x－3．列表：



π2x－3 0 π2 π 3π2 2π x πsin2x－3  作图(如图所示)．

π6 0 5π12 1 2π3 0 11π12 －1 7π6 0

π

(3)把函数y＝sinx的图象上的所有点向右平行移动3个单位长度，纵坐标不ππ

变，得到函数y＝sinx－3的图象，再把函数y＝sinx－3的图象上的所有点的

1π

横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x－3的图象．

9．将函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将ππ

函数y＝cos2x－6的图象向左平移12个单位长度，可得函数g(x)的图象．

(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．

解 函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，

π

可得函数f(x)＝lg (x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos2x－6的图象向左平πππ

移12个单位长度，可得函数g(x)＝cos2x＋12－6＝cos2x的图象，即图象C2．

(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象如下图所示．其中C1表示函数f(x)的图象，C2表示函数g(x)的图象．

(2)由图象可知：两个函数的图象共有5个交点． 即方程f(x)＝g(x)解的个数为5．

对应学生用书P31

一、选择题

1．为了得到y＝cos4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 1

B．横坐标缩短为原来的4，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 1

D．纵坐标缩短为原来的4，横坐标不变 答案 B

1

解析 因为ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短为原来的4，纵坐标不变．

π

2．把函数f(x)＝sin2x－3的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函



数g(x)的图象．若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为( )

5π7πA．12 B．12 5ππ5π11πC．6或6 D．12或12 答案 D

ππ

解析 由题意，得g(x)＝sin2(x＋φ)－3＝sin2x＋2φ－3．∵g(x)的图象关于y轴对称，

ππkπ5π

∴g(x)为偶函数，∴2φ－3＝kπ＋2(k∈Z)，∴φ＝2＋12(k∈Z)．当k＝0时，φ5π11π

＝12；当k＝1时，φ＝12，故选D．

ππ

3．下列表示函数y＝sin2x－3在区间－2，π上的简图正确的是( )

答案 A

1

解析 将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，再将所有点向右ππ

平移6个单位长度即得y＝sin2x－3的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正ππ3π

确的．也可以分别令2x－3＝0，2，π，2，2π得到五个关键点，描点连线即得π

函数y＝sin2x－3的图象．

ππ

4．将函数y＝sin2x－3图象上的点P4，t向左平移s(s>0)个单位长度得到



点P′．若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则( )

1π3π

A．t＝2，s的最小值为6 B．t＝2，s的最小值为6 1π3πC．t＝2，s的最小值为3 D．t＝2，s的最小值为3 答案 A

ππππ

解析 因为点P4，t在函数y＝sin2x－3的图象上，所以t＝sin2×4－3＝

π1

sin6＝2．

11πππ

又P′4－s，2在函数y＝sin2x的图象上，所以2＝sin24－s，则24－s＝

ππ5ππ

2kπ＋6，k∈Z或2( 4－s )＝2kπ＋6，k∈Z，解得s＝－kπ＋6，k∈Z或s＝－kπππ

－，k∈Z．又s>0，故s的最小值为．故选A． 66

5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )

答案 D

解析 当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且f(x)的最小值为正数，选项A符合；当|a|>1时，T<2π，且f(x)的最小值为负数，选项B符合；在选项D中，由振幅得|a|>1，则T<2π，而由图象知T>2π，矛盾，故选D．

二、填空题

π

6．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移4个单位长度，所得图象经3π

过点4，0，则ω的最小值是________．

答案 2

ππ

解析 把f(x)＝sinωx的图象向右平移4个单位长度，得y＝sinωx－4．又所3π3ππωπωπ

得图象经过点4，0，∴sinω4－4＝0．∴sin2＝0．∴2＝kπ(k∈Z)．∴ω＝2k(k∈Z)．∵ω>0，∴ω的最小值为2．

π

7．将函数y＝cos2x＋6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后所得的函数图

象关于坐标原点对称，则φ的最小值是________．

π

答案 6

π

2x＋φ＋解析 由题意，知y＝cos＝cos2x＋ 6

(

ππππkπ

2φ＋6是奇函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z．当k

6262

π

＝0时，正数φ取得最小值6．

8．给出下列六种图象变换的方法：

1

①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2； ②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； π

③图象向右平移3个单位长度；

π

④图象向左平移3个单位长度； 2π

⑤图象向右平移3个单位长度； 2π

⑥图象向左平移3个单位长度．

xπ

请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝sin2＋3

的图象，那么这两种变换正确的标号是________(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．

答案 ④②或②⑥

xπx④②π②

解析 y＝sinx――→y＝sinx＋3――→y＝sin( 2＋3 )或y＝sinx――→y＝sin2

12π⑥xπ――→y＝sin2( x＋3 )＝sin2＋3．



三、解答题

π

9．函数f(x)＝5sin2x－3－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？

ππ

解 先把函数y＝sinx的图象向右平移3个单位，得y＝sinx－3的图象；再把1π

所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin2x－的23图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得π

函数y＝5sin2x－3的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得函数y＝

π

5sin2x－3－3的图象．

ππ

10．已知函数f(x)＝2cos4－4x．

(1)求函数f(x)图象的对称轴；

(2)将函数f(x)的图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数y＝g(x)＋k在(－2，4)上有两个零点，求实数k的取值范围．

ππππ

解 (1)f(x)＝2cos4－4x＝2sin4x＋4，

πππ

令x＋＝＋kπ，k∈Z， 442解得x＝1＋4k，k∈Z，

所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1＋4k，k∈Z．

(2)依题意，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为

πππ

g(x)＝2sin4x＋1＋4＝2cos4x，



函数y＝g(x)＋k在(－2，4)上有两个零点，

即函数y＝g(x)的图象与直线y＝－k在x∈(－2，4)上有两个交点，如图所示，

所以0<－k<2，即－2