新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册

升课教师用书新人教A版必修第一册

章末复习提升课

不等式性质的应用

(1)下列命题正确的有( )

111222

①若a>1，则<1；②若a＋c>b，则<；③对任意实数a，都有a≥a；④若ac>bc，则

aaba>b.

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

b2

(2)已知2a1

【解】 (1)选B.因为a>1，所以<1，所以①正确；若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝

a1112222

－1，则有>，故②错误；对于③，可取a＝，则abc，所以c>0，

ab2

所以a>b，故④正确．

(2)因为－2因为－2因为23a21b所以<<2.

3a2

2

在判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来，找到与命题相近的性质，应用性质判断命题真假．注意特殊值法在解有关不等式客观题中的应用．

已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )

A．若a>b，则ac>bc B．若>，则a>b 1133

C．若a>b且ab<0，则>

2

2

abccabab1122

D．若a>b且ab>0，则<

解析：选C.当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；由a>b且ab<0知a>011

且b<0，所以>成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．

3

3

ab

基本不等式

92

若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求＋的最小值，并求出取得最小值时x，y的值．

xy【解析】 因为x>0，y>0，且x＋2y＝5， 92192所以＋＝(x＋2y)＋ xy5xy18y2x1＝13＋＋

xy51≥13＋25

18y2x

·＝5，

xy

x＋2y＝5，x＝3，

当且仅当18y2x即时等号成立．

y＝1＝，yx92

所以＋的最小值为5，此时x＝3，y＝1.

xy

条件不等式的最值问题的解题策略

(1)对于条件的使用是解此类问题的关键，常用的方法有代入法、“1”的代换等，解题还要注意在变形的过程中字母取值的，否则可能影响取等号时字母的取值．

(2)对于要求最值的式子的变形也至关重要，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的．

1．函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．

1

解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤

212x＋（3－2x）293

＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 224

答案：

8

2．当x＞1时，不等式x＋

1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是________． x－1

1

≥a恒成立， x－1

解析：因为当x＞1时，不等式x＋所以a≤x＋由于x＋值为3.

1

对实数x＞1均成立． x－1

111＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小x－1x－1x－1

所以a≤3，即实数a的取值范围为a≤3. 答案：a≤3

一元二次不等式

解下列关于x的不等式． (1)－1＜x＋2x－1≤2； (2)mx＋2mx－3＜0. 【解】 (1)原不等式等价于

22

2

x＋2x－1>－1，2 x＋2x－1≤2，

x＋2x>0，即2

x＋2x－3≤0，

2

2

①

②

由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0， 所以－3≤x≤1.

将①②的解集在数轴上表示出来，如图．

求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0当m≠0时，二次项系数m>0，Δ＝16m>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0.

31

当m>0时，解集为x－

2

2

mmmm

13

当m<0时，解集为x

一元二次不等式的解法

(1)简单的一元二次不等式：

①将不等式化为ax＋bx＋c>0(a>0)或ax＋bx＋c<0(a>0)的形式；

②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．

(2)含参数的一元二次不等式：

解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．

1．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)＞0的解集是( ) A．{x|x＜－n或x＞m} B．{x|－n＜x＜m} C．{x|x＜－m或x＞n} D．{x|－m＜x＜n}

解析：选B.方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根为m，－n.因为m＋n＞0，所以m＞－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n＜x＜m}．故选B.

2．若不等式(1－a)x－4x＋6>0的解集是{x|－322

2

(1)解不等式2x＋(2－a)x－a>0； (2)b为何值时，ax＋bx＋3≥0的解集为R.

解：(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x－4x＋6＝0的两根，

2

2

2

4＝－2，所以1－a解得a＝3.

61－a＝－3，

所以不等式2x＋(2－a)x－a>0， 即为2x－x－3>0， 3解得x<－1或x>.

2所以所求不等式的解集为

3xx<－1或x>.

2

2

2

1－a<0，

(2)ax＋bx＋3≥0，即为3x＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b－4×3×3≤0，所以－6≤b≤6.

222