2020-2021学年浙江省丽水市遂昌中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设命题的充要条件，命题
，则（ ）
A．“
”为真 B．“
”为真
C．p真q假 D．p，q均为假命题
参：
A 略
2. 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )
A． B． C．
D．
参：
3. 已知函数
x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1
＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是
( )
A．(0，π)
B．(－π，π)
C．(lg π，1)
D．(π，10) 参： D 略
4. 下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和 C．若函数
、
满足
，则
D．
参： 答案：C. 解析：
的前提是必须都存在！
5. 函数f（x）=2sin2（﹣x）﹣1（x∈R）是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数
参：
B
【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】由二倍角的余弦公式化简函数解析式可得f（x）=sin2x，求出其周期和奇偶性即可得解．【解答】解：∵f（x）=2sin2（﹣x）﹣1=1﹣cos[2（
﹣x）]﹣1=cos（
﹣2x）=sin2x
∴T=
=π
∴由f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x）可知函数f（x）是奇函数． 故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，考查了函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
6. 设O为坐标原点，F1，F2是双曲线－＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存
在点P，满足∠F1-P F2=60°，=
则该双曲线的离心率为（ ） A.
B.
C. 2 D.
参： D
7. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展
开式中x的系数为（ ）
A． 150 B．－150 C．300 D．－300 参： 略
8. 已知等差数列的前项的和为
，且满足
，则一定有（ ） A.
是常数 B. 是常数 C.
是常数 D.
是常数
参：
D
9. 在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
参：
C
考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断． 专题：解三角形．
分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可
判断C的取值范围
解答： 解：∵sin2A+sin2B＜sin2
C，
由正弦定理可得，a2+b2＜c2
由余弦定理可得cosC=
∴
∴△ABC是钝角三角形
故选C
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题10. 已知三个向量，,
共线，其中分别是
的三条边及相对三个角，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
参：
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在区间
内恰有9个零点，则实数的值
为
参：
由
，得，即．设
，令
，则．考察
的函数
的零点个数，即如下图所示为，
的图象，易知：（1）方程
的一个根为1，另一个根为
时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程
的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时
，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．
12.
参：
3
13. A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B= ．
参：
{（﹣1，3）}
【考点】交集及其运算． 【专题】计算题．
【分析】联立A与B中两方程，求出方程组的解即可确定出两集合的交集． 【解答】解：由A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，
联立得：
，
解得：
，
则A∩B={（﹣1，3）}． 故答案为：{（﹣1，3）}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 14. “
”是“实系数一元二次方程
有两异号实根”的 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”或者“既不充分又不必要”）
参：
既不充分又不必要
试题分析：因为实系数一元二次方程有两异号实根，所以
，所以“
”是“实系数一元二次方程
有两异号
实根”的既不充分又不必要条件。 考点：充分必要条件.
15. 已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a－2b)与c共线，则k＝_____.
参：
1
16. 在三棱锥
中，
是边长为3的等边三角形，
，二面角
的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．
参：
21π 由题意得，得到，取AB中点为D，
SB中点为M，得到为二面角
的平面角，
由题意可知
，设三角形ABC的外心为
，
则，球心为过点M的面ABS的垂线与过点
O’的面ABC的垂线的交点，在四边形
中，可求出，
所以
，所以球的表面积。
17. 已知函数的图象与的图象有四个不同交点，其横坐
标从小到大依次为，，，，则______.
参：
【分析】
联立方程，两边除以得到新方程，设
，通过函数的奇偶性和方程的韦达定理得到答案. 【详解】函数的图象与
的图象有四个不同交点
则
两边除以得到
设
原式
或
为偶函数
有两个解互为相反数
有两个解互为相反数
故答案为1
【点睛】本题考查了零点问题，换元法，韦达定理，综合性强，属于难题.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面 ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
???（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
???（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．
参：
解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B，C，D，P，E的坐标为A（0，0，0），
B （，0，0），C （，1，0） ，
D （0，1，0） ，P （0，0，2） ，E （0，，1） 从而
（4分） 设
的夹角为θ，
则
∴AC与PB所成角的余弦值为．（8分）
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为
，
则，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为（，0，1），
从而N点到AB和AP的距离分别为1，。 （12分）
19. （14分）设函数
（1） 若与
具有完全相同的单调区间，求的值；
（2）若当
时恒有
求的取值范围．
参：
（1），
当
时，
在
内单调递减；
当
时，
在内单调递增．
又由得．
此时
，
显然在
内单调递减，在内单调递增，故
．
（2）由，得．
令
，则
．
，．
若，则当
时，，为增函数，而
，
从而当，即
； 若，则当
时，
，
为减函数，而，
从而当
时
，即，则
不成立．
综上，的取值范围为
．
20. 如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若
的值；
（2）若EF2
=FA?FB，证明：EF∥CD．
参：
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质． 【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出
的值．
（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△EBA，∴
，
=
=，
∴
=
．
证明：（2）∵EF2=FA?FB，∴，
∵∠EFA=∠BFE， ∴△FAE∽△FEB，
∴∠FEA=∠EBF，
∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF， ∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．
【点评】本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用．
21. 大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：
（1）设X表示在这块地种植此水果一季的利润，求X的分布列及期望； （2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．
参：
（Ⅰ）设
表示事件“水果产量为”，
表示事件“水果市场价格为
元/
”，则
，
．
∵利润产量市场价格成本， ∴
的所有可能取值为：
，
，
，
．
；； ；
．
∴
的分布列为：
X 28000 40000 44000 60000 P 0.2 0.2 0.3 0.3 （万元）．
（Ⅱ）设C表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则
．
22. 已知函数，
（a为常数，且
）.
（1）若当
时，函数
与
的图象有且只要一个交点，试确定自然数的值，使得
（参考数值
，
，
，
）；
（2）当
时，证明：
（其中e为自然对数的底数）.
参：
解：（1）记，则
，
当
时，因为
，
，函数单调递增，，
函数
无零点，即函数
与
的图象无交点；
当
时，，且
时，
，
时，
，
所以，，函数
与
的图象有且只有一个交点，得
，
化简得：
，
记
，
，所以
在
上单调递减，
又，
，
所以
，即
.
（2）由（1）得：当
时，
，只要证明：
时，即，
记，
则记
，
，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为且所以
在区间
，所以当
时，
， ，即
， ，
上单调递增，从而
即
成立，所以成立.