线性代数期末试题及答案

枣庄学院光电工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷

一、填空题（每小题2分，共20分）

a11a211.如果行列式

a31 。

131D6813912.设

6233.设

= 。

a12a13a22a232a32a33，则

2a112a122a132a212a222a232a312a322a33

2222，则A12A22A32A42 。

B1210,C12134,且有ABCE,则A

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a11x101a1x2011ax03的基础解系含有4.设齐次线性方程组2个解向量，则a 。

5.A、B均为5阶矩阵，

A1T1,B2BA2，则 。

TT6(1,2,1)6.设,设A，则A 。

7.设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，若是矩阵A的一个特征值，则A的一个特征值可表

**示为 。

8.若

22f2x12x23x32tx1x22x1x3

为正定二次型，则t的范围是 。

9.设向量

(2,1,3,2)T,(1,2,2,1)T

，则与的夹角 。

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10. 若3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则AE 。

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二、单项选择（每小题2分，共10分）

x1x2x30x1x2x301.若齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则（ ）

A.1或2 B. －1或－2 C.1或－2 D.－1或2.

2.已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,2,2，它们的余子式的值分别为3,2,1,1，则A（ A.5 B.-5 C.-3 D.3

3.设A、B均为n阶矩阵，满足ABO，则必有（ ）

A.AB0

B.r(A）r(B）

C.AO或BO

D.A0或B0

4. 设β1,β2是非齐次线性方程组AXb的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （1A．

B．531122 C．2122 D．12

5. 若二次型

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） ）

22f5x125x2kx32x1x26x1x36x2x3

的秩为2，则k（ ）

A. 1 B.2 C. 3 三、计算题 (每题9分，共63分)

abbDabnb1.计算n阶行列式bbaD. 4

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101A0201012A,B，求矩阵B。 2. 设均为3阶矩阵，且满足ABEAB，若矩阵

3.已知向量组

13912,20,36317

和

0ab11,22,31110

；已知3可以由1,2,3线性表示, 且1,2,3与1,2,3具有相同的秩,求a ,b的值。

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4. 已知向量组

10211135521,2,3,4,52134242680

（1）求向量组1,2,3,4,5的秩以及它的一个极大线性无关组；

（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

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5. 已知线性方程组

x1x22x33x41x13x26x3x43x5x10x9xa2341

（1）a为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.

6. 设矩阵

1410P,D1021

，矩阵A由关系式P1APD确定，试求A5

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7.将二次型

22f(x1,x2,x3)x122x2x32x1x22x1x34x2x3

化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。

四、证明题（7分）

已知3阶矩阵BO，且矩阵B的列向量都是下列齐次线性方程组的解

x12x2x302x1x2x303xxx0312，（1）求的值；（2）证明：B0。

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2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准

参与评分标准

一. 填空题

1．-16； 2. 0；3.

71012； 4. 1； 5.-4； 6. 65A65121242121

15； 7.

A；8.

3t53； 9. 2； 10. 24。

二. 单项选择： 1. C； 2. A ；3. D； 4. B； 5. C.

三.计算题：

1.

abb1bDbab[a(n1)b]1anbba1b

4分

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bba

2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准 1[a(n1)b]00b0b0[a(n1)b](ab)n1abab 9分

222. ABEABABBAE



(AE)B(AE)(AE)

3分

001AE010100显然可逆 因为

6分

则

101201BAE020E030101102

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9分

2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准

3.

9b139b132061061212b,31700005/3b/3

3分

即b5，且r(1,2,3)2 5分

那么r(1,2,3)2，则

6分

0ab1211211210310311100a50a150，即a15 9分

4.

102110211013552133610101213421120004268000224400

4分

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210120001000

2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准

r(1,2,3,4,5)3 5分

其极大线性无关组可以取为1,2,5 7分

且：321205，412205

9分

5.

112311123110041361302422012115109a06126a10000当a5时，线性方程组有解 4分

0x4x104即1x212x03x4，特解为

0， 6分

04x21114x,2410其导出组的一般解为x22x3x4，基础解系为

01 8分 原线性方程组的通解为

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01a5

2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准

0k11k22(k1,k2 9分

为任意常数）

6. 由P1APD，得APDP1 2分

A5PD5P1 7.

=

4分

51411100213141114111003213117分

111284434431321111112

9分

f(x,x)x22212,x312x2x32x1x22x1x34x2x3

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41

2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准

22x12x1(x2x3)(x2x3)2x22x2x3

2分

=

2(x1x2x3)2(x2x3)2x3

4分

令

y1x1x2x3x2x3y2yx33 6分

即作线性变换

x1y1y2y2y3x2xy33 8分

222fyyy123可将二次型化成标准形

9分

四.证明题：

因为BO，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式

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2005-2006学年第一学期线性代数统考试卷参与评分标准

1321150121，所以0 3分

（2）

121121A210052311000

，r(A)2，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故r(B)1，因而B0。

7分

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