一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则（ ） A．a＝﹣5，b＝﹣1 B．a＝﹣5，b＝1
C．a＝5，b＝﹣1
D．a＝5，b＝1
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ） A．y＝1
B．x＝﹣1
C．x＝l
D．y＝﹣1
3．（3分）向高为10cm的下列容器注水，注满为止，若注水量V（cm3）与水深h（cm）之间的函数关系的图象大致如图，则这个容器是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）关于对应关系y＝A．不是函数
C．与函数y＝x是同一函数
，下列说法正确的是（ ）
B．是函数 D．以上选项都不对
5．（3分）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ） A．1
B．7
C．1或7
D．3或4
6．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从分别写者数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽中2的概率
B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是偶数的概率
C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚正面向上、一枚反面向上的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率 7．（3分）已知点A（﹣1，
），O为坐标原点，连结OA．将线段OA绕点O按逆时针方
向旋转30°得到线段OA′，则点A′的坐标为（ ） A．（1，﹣
）
B．（﹣2，
）
C．（﹣
，2）
D．（﹣
，1）
8．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣
B．m≤，且m≠0 C．m＜，且m≠0 D．m＞
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0的两个实数根为x1和x2，设t＝A．﹣4
，则t的最大值为（ ）
B．4
C．﹣6
D．6
10．（3分）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，＝2，反比例函数y＝在第一象限的图
象分别交OA、AB于点C、D，且S△BOD＝2，则C的坐标为（ ）
A．（2，4）
B．（
，2
）
C．（1，2）
D．（
，
）
二、填空（每题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解为 ．
12．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为 度．
13．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+3（x≤﹣2）的最大值为 ． 14．（3分）圆锥的高为2
cm，母线长为8cm，则侧面展开图扇形圆心角为 度．
15．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为 ．
16．（3分）下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形．正确的序号是 ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解方程：
（1）用配方法解一元二次方程：x2+4x﹣2＝2x+3； （2）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
18．（7分）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘． （1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由
19．（7分）已知二次函数的解析式是y＝2x2﹣4x+3．
（1）用配方法将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点C的坐标； （2）在直角坐标系中，画出它的大致图象；
（3）若点A（1﹣a，y1）和B（2+a，y2）（a＞0）在二次函数图象上，请利用图象直接写出y1与y2的大小关系．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且（1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若
＝，求
的值．
＝
．
21．（8分）某市某楼盘准备以每平方米12100元的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后（每次降价的百分率相同），决定以每平方米10000元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率（精确到0.01）；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月2元，请问哪种方案更优惠？ 22．（8分）如图，对角线长为2
的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例
函数y＝在第一象限的图象经过点D，交BC于E．
（1）当点E的坐标为（a，）时，求a的值和反比例函数的解析式；
（2）一次函数y＝mx+n的图象过D、E两点，连接OD、OE，求△ODE的面积，并利用图象直接写出不等式mx+n﹣＜0的解集．
23．（9分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．
24．（8分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
25．（9分）如图，已知：直线y＝﹣2x+m（m为常数），抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，抛物线的顶点为A．
（1）当直线经过A点时，求m的值；
（2）当直线和抛物线在x轴上方的部分只有一个公共点时，求m的取值范围． （3）当直线与抛物线只有一个公共点D时，设点P是y轴上一动点，求|PA﹣PD|的最大值，并求取得最大值时P点的坐标．
2019-2020学年内蒙古呼和浩特市赛罕区九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则（ ） A．a＝﹣5，b＝﹣1 B．a＝﹣5，b＝1
C．a＝5，b＝﹣1
D．a＝5，b＝1
【分析】本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值． 【解答】解：根据题意得a＝﹣5，b＝﹣1， 故选：A．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ） A．y＝1
B．x＝﹣1
C．x＝l
D．y＝﹣1
【分析】根据二次函数顶点式得出对称轴即可，注意与对点坐标区分． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2， ∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是：x＝1． 故选：C．
3．（3分）向高为10cm的下列容器注水，注满为止，若注水量V（cm3）与水深h（cm）之间的函数关系的图象大致如图，则这个容器是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数的图象可知，注水量与水深之间是随着水的深度越大增加的速度越慢的关系进行的．
【解答】解：根据函数图象可知，注水量Vcm3与水深hcm之间的关系是注水量Vcm3随着h的增大而增加的速度逐渐减慢，可以得出开始容器由小逐渐变大，即开口越来越大，
从图形容器可以看出C符合， 故选：C．
4．（3分）关于对应关系y＝A．不是函数
C．与函数y＝x是同一函数
，下列说法正确的是（ ）
B．是函数 D．以上选项都不对
【分析】利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而得出答案． 【解答】解：A、根据函数的定义，y是x的函数，故A错误； B、根据函数的定义，y是x的函数，故B正确；
C、与函数y＝x不是同一函数，自变量一个不可以取0，一个可以取0，故C错误； D、根据函数的定义，y是x的函数，故D错误； 故选：B．
5．（3分）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ） A．1
B．7
C．1或7
D．3或4
【分析】过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA＝OC＝5，AF＝FB＝3，CE＝ED＝4，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEC、Rt△OFA，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离． 【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE＝
＝3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF＝
＝4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：C．
6．（3分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．从分别写者数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽中2的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是偶数的概率
C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚正面向上、一枚反面向上的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、分别写者数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽中2的概率为≈0.33，故此选项符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意；
C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚正面向上、一枚反面向上的概率，故此选项不符合题意；
D、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率是，故此选项不符合题意． 故选：A．
7．（3分）已知点A（﹣1，
），O为坐标原点，连结OA．将线段OA绕点O按逆时针方
向旋转30°得到线段OA′，则点A′的坐标为（ ） A．（1，﹣
）
B．（﹣2，
）
C．（﹣
，2）
D．（﹣
，1）
【分析】如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．解直角三角形求出A′E，OE即可．
【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．
∵A（﹣1，
），
， ＝
，
∴OH＝1，AH＝∴tan∠AOH＝
∴∠AOH＝60°，∠OAH＝30°， ∴OA＝OA′＝2OH＝2， ∵∠AOA′＝30°， ∴∠A′OE＝30°， ∴A′E＝OA′＝1，OE＝∴A′（﹣故选：D．
8．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
，1），
A′E＝
，
A．m＜﹣ B．m≤，且m≠0 C．m＜，且m≠0 D．m＞
【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△＝4﹣12m＞0， m＜， ∵m≠0， ∴m＜且m≠0， 故选：C．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0的两个实数根为x1和x2，设t＝A．﹣4
，则t的最大值为（ ）
B．4
C．﹣6
D．6
【分析】根据判别式可求出k的范围，然后将两根之和化简原式即可求出t的最大值． 【解答】解：由题意可知：△＝4（k﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣8k﹣4≥0， ∴k≤
，
由根与系数的关系可知：x1+x2＝2（k﹣1）， ∴t＝∴t≤6， 故选：D．
10．（3分）如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，
＝2，反比例函数y＝在第一象限的图
＝2﹣，
象分别交OA、AB于点C、D，且S△BOD＝2，则C的坐标为（ ）
A．（2，4） 【分析】由
B．（
，2
）
C．（1，2）
D．（
，
）
＝2，可知点A的纵坐标是横坐标的2倍，因此可知点A在直线y＝2x上，
由S△BOD＝2，可以确定反比例函数的关系式，两个函数的关系式联立求出交点坐标即可．
【解答】解：∵∠ABO＝90°，设OB＝a，则AB＝2a， ∴A（a，2a）
∴直线OA的关系式为y＝2x， ∵S△BOD＝2， ∴|k|＝2，k＞0， ∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝， 由题意得，
，解得：
∴C（
，2
），
，
＝2，
（舍去）
故选：B．
二、填空（每题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解为 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【分析】先把方程左边分解，然后把原方程化为两个一次方程x+3＝0或x﹣1＝0，再解一次方程即可．
【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝1． 故答案为x1＝﹣3，x2＝1．
12．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为 30 度．
【分析】首先根据垂径定理得到OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数，进而可求出∠OAC的度数．
【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分， ∴OA＝AB， ∵OA＝OC，
∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， 故答案为30．
13．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+3（x≤﹣2）的最大值为 3 ． 【分析】直接利用二次函数的性质结合最值求法进而得出答案． 【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+3 ＝﹣2（x+1）2+5，
即x＝﹣1时，二次函数最大， ∵x≤﹣2，且抛物线开口向下，
∴x＝﹣2时，二次函数最大为：y＝﹣2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+3＝3． 故答案为：3． 14．（3分）圆锥的高为2
cm，母线长为8cm，则侧面展开图扇形圆心角为 90 度．
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求得圆心角的度数即可． 【解答】解：∵高为2∴圆锥的底面周长为∴
＝2×2π，
cm，母线长为8cm，
＝2cm，
解得：n＝90， 故答案为：90．
15．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为 1＜a≤2 ．
【分析】函数的顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y＜0时，1＜a≤2；即可求解．
【解答】解：函数图象如下，函数的对称轴为：x＝2，顶点D坐标为：（2，﹣1），
则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y＜0时， 1＜a≤2；
故答案为：1＜a≤2．
16．（3分）下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形．正确的序号是 ①③④ ．
【分析】根据频率估计概率、轴对称图形的概念、弦的概念、反比例函数的图象判断． 【解答】解：①试验次数越多频率就越接近概率，本说法正确； ②汽车样式各异，不一定是轴对称图形，本说法错误； ③直径是圆中最长的弦，本说法正确；
④反比例函数y＝（x＞0）的图象是中心对称图形，本说法正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解方程：
（1）用配方法解一元二次方程：x2+4x﹣2＝2x+3； （2）解方程：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）方程整理，得：x2+2x﹣5＝0， 则x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝5+1，即（x+1）2＝6， ∴x+1＝±∴x＝﹣1±
， ；
（2）∵3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0， 则x﹣1＝0或3x﹣2＝0， 解得x＝1或x＝．
18．（7分）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘． （1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由
【分析】（1）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出指针所在区域的数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）利用甲胜的概率＝，乙胜的概率＝，从而可判断这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为4， 所以甲胜的概率＝＝；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 理由如下：
∵甲胜的概率＝，乙胜的概率＝， 而≠，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
19．（7分）已知二次函数的解析式是y＝2x2﹣4x+3．
（1）用配方法将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点C的坐标； （2）在直角坐标系中，画出它的大致图象；
（3）若点A（1﹣a，y1）和B（2+a，y2）（a＞0）在二次函数图象上，请利用图象直接写出y1与y2的大小关系．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数定点坐标即可； （2）求出二次函数与y轴交点，进而画出其图象； （3）直接利用二次函数的增减性进而得出答案． 【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x+3 ＝2（x2﹣2x）+3 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝2（x﹣1）2+1， 顶点C的坐标（1，1）；
（2）当x＝0时，y＝3，图象如图所示：
（3）由（1）得抛物线的对称轴为x＝1， ∵1﹣（1﹣a）＝a，2+a﹣1＝1+a，且a＞0， ∴2+a距离对称轴x＝1的距离远， 又∵a＞0， ∴y2＞y1．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且（1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若
＝，求
的值．
＝
．
【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用三角形内角和定理可得出∠ADF＝∠C，结合
＝
，即可证出△ADF∽△ACG；
＝
，由
＝可得出
＝，再结合FG＝
（2）根据相似三角形的性质可得出AG﹣AF即可求出
的值．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴∠ADF＝∠C． 又∵
＝
，
∴△ADF∽△ACG． （2）∵△ADF∽△ACG， ∴
＝
．
∵∴∴
＝， ＝， ＝
＝1．
21．（8分）某市某楼盘准备以每平方米12100元的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后（每次降价的百分率相同），决定以每平方米10000元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率（精确到0.01）；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月2元，请问哪种方案更优惠？
【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，则12100（1﹣x）2＝10000，即可求解； （2）①优惠：10000（1﹣0.98）×100＝20000；②优惠：2×100×2×12＝4800，即可求解．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 则12100（1﹣x）2＝10000， 解得：x＝9.09%；
（2）①优惠：10000（1﹣0.98）×100＝20000； ②优惠：2×100×2×12＝4800， 故方案①更优惠．
22．（8分）如图，对角线长为2
的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例
函数y＝在第一象限的图象经过点D，交BC于E．
（1）当点E的坐标为（a，）时，求a的值和反比例函数的解析式；
（2）一次函数y＝mx+n的图象过D、E两点，连接OD、OE，求△ODE的面积，并利用图象直接写出不等式mx+n﹣＜0的解集．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD＝BC＝2，则利用点E的坐标为（a，）可表示出点D的坐标为（a﹣2，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a＝2（a﹣2），解得a＝3，则D（1，2），E（3，），易得k＝2，从而得到反比例函数解析式； （2）利用S△ODE＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED进行计算，然后几何函数图象，写出反比例函数在一次函数图象上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集． 【解答】解：（1）∵四方形ABCD的对角线长为2∴AB＝AD＝BC＝2， ∵点E的坐标为（a，）， ∴点D的坐标为（a﹣2，2），
∵D点和E点都在反比例函数y＝上， ∴a＝2（a﹣2），解得a＝3， ∴D（1，2），E（3，）， ∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝； （2）S△ODE＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE ＝S梯形ABED ＝×（+2）×2 ＝．
当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的函数值比一次函数的函数值大，
，
所以不等式mx+n﹣＜0的解集为0＜x＜1或x＞3．
23．（9分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．
【分析】设每件涨价x元，则每件的利润是（60﹣40+x）元，所售件数是（300﹣10x）件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是（60﹣40﹣a）元，所售件数是（300+20a）件，总利润为w；根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【解答】解：设涨价x元，利润为y， 则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x） ＝﹣10x2+100x+6000 ＝﹣10（x﹣5）2+6250
因此当x＝5时，y有最大值6250． 60+5＝65元
每件定价为65元时利润最大． 设每件降价a元，总利润为w， 则w＝（60﹣40﹣a）（300+20a） ＝﹣20a2+100a+6000 ＝﹣20（a﹣2.5）2+6125
因此当a＝2.5时，w有最大值6125． 每件定价为57.5元时利润最大． 综上所知每件定价为65元时利润最大．
24．（8分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE＝∠DEM＝90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径． 【解答】（1）证明：连接OD． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA． ∵∠OAD＝∠DAE， ∴∠ODA＝∠DAE． ∴DO∥MN． ∵DE⊥MN，
∴∠ODE＝∠DEM＝90°． 即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3， ∴连接CD．
∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠AED＝90°． ∵∠CAD＝∠DAE，
．
∴△ACD∽△ADE． ∴∴
．
．
则AC＝15（cm）． ∴⊙O的半径是7.5cm．
25．（9分）如图，已知：直线y＝﹣2x+m（m为常数），抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，抛物线的顶点为A．
（1）当直线经过A点时，求m的值；
（2）当直线和抛物线在x轴上方的部分只有一个公共点时，求m的取值范围． （3）当直线与抛物线只有一个公共点D时，设点P是y轴上一动点，求|PA﹣PD|的最大值，并求取得最大值时P点的坐标．
【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，函数的对称轴为：x＝1，此时y＝a﹣2a+3＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，即可求解；
（2）①当直线过（﹣1，0）时，则0＝2+m，解得：m＝﹣2；②当直线过（3，0）时，即0＝﹣6+m，解得：m＝6；③当直线和抛物线只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式并整理得：x2﹣4x+m﹣3＝0，△＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝0，解得：m＝7，此时交点坐标为：（2，3），即可求解；
（3）由（2）知，点D（2，3），连接D、A交y轴于点P，则此时|PA﹣PD|有最大值，即点P为所求点，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4， 函数的对称轴为：x＝1，此时y＝a﹣2a+3＝4，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； 顶点A的坐标为：（1，4）；
将点A的坐标代入直线表达式并解得：m＝6；
（2）抛物线于x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（3，0）； ①当直线过（﹣1，0）时，则0＝2+m，解得：m＝﹣2； ②当直线过（3，0）时，即0＝﹣6+m，解得：m＝6；
③当直线和抛物线只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式并整理得：x2﹣4x+m﹣3＝0，
△＝（﹣4）2﹣4（m﹣3）＝0，解得：m＝7，此时交点坐标为：（2，3）， 当直线过（3，0）时，直线和抛物线在x轴上方的部分有两个公共点， 故﹣2≤m＜6或6＜m≤7；
（3）由（2）知，点D（2，3），
连接D、A交y轴于点P，则此时|PA﹣PD|有最大值，即点P为所求点， 由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣x+5， 故点P（0，5）．
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