人教版七下 5.1.2垂线 教学设计
教学内容解析
教学流程图
地位与作用
垂线是“图形与几何”的核心内容，是平面直角坐标系的基础，是前一节相交线的特殊情况，体现了数学从一般到特殊研究问题的方法.作为特殊图形，它除了具备一般图形所具有的性质之外，还具有本身特殊的性质.可以从以下两方面来认识和理解特殊：邻补角、对顶角这四个角都相等；过一点作已知直线垂线的“唯一性”.本节课为后续平行公理的学习和特殊三角形、特殊四边形的学习奠定基础.
概念解析
本节课的主要概念有垂线和点到直线的距离.垂直是相交的特殊情形，两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.垂直指的是两条直线的位置关系，即两条线段垂直、两条射线垂直，射线与直线垂直，线段与射线垂直，线段与直线垂直都指的是它们所在的直线垂直.
点到直线的距离指的是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，因此它是长度，表示的是一个数量不是一个图形.
思想方法
用数学原理解释生活中的现象时，把实际问题转化为数学问题，把直观感知的规律上升为数学事实，让学生体会抽象概括的数学思想.
知识类型
垂线和点到直线的距离是概念性知识，本节课中垂线的性质是事实性知识.
教学重点
基于以上分析，确定本节课的教学重点是理解垂线的概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线.
教学目标解析
教学目标
1．理解垂线、垂线段等概念．
2．能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线．
目标解析
达成目标1的标志是理解垂直是两条直线的一种特殊位置关系，能用符号表示垂直关系，指出其中的垂足、垂线；能通过图形说出垂线与垂线段的区别．
达成目标2的标志是会用三角板或量角器过一点画一条直线（或射线、线段）的垂线或垂线段，通过动手操作体会垂线的存在性和唯一性，以及“同一平面内”的必要性；能通过观察、测量等得出“垂线段最短”，能在复杂图形中识别垂线段；在实际问题中能用“垂线段最短”进行说理．
教学问题诊断分析
具备的基础
学生学习了点、线、角基本图形，对几何图形有了初步认识.通过相交线的学习，体会研究几何图形的思路与方法，即从数量关系和位置关系两方面进行研究，初步感受数量关系与位置关系之间的相互联系.同时也经历将图形语言与符号语言相互转化的过程，这些为垂直的符号表示和垂线的画法都作了很好的铺垫，理解起来并不困难.
与本课目标的差距分析
学生已知学习过直线、射线、线段和角等几何图形，这些都是单一的几何图形。而相交线则是两个几何图形的关系，研究两条直线的数量关系和位置关系，这些经验都是学生缺乏的，形成了与本节目标之间的差距。
存在的问题
对于在同一平面内这一前提和“有且只有”的理解存在一定的困难，数学语言向来以精炼著称，为什么在这里既出现有还再次强调只有，学生需要理解问题的存在性和唯一性.实际问题是通过两点之间线段最短的原理来说明还是垂线段最短来说明学生容易混淆.
应对策略
通过在平面内作已知直线的垂线，感受垂线的存在性且唯一.而且将垂线的唯一性与平行线的唯一性联系起来。使学生能够理解将垂直的唯一性以及垂线段最短都可以作为基本事实。
教学难点
基于以上分析，确定本节课的教学难点：理解垂线的两条性质.
教学支持条件分析
利用自制教具和学生作图，理解垂直是相交的特殊情况，感受“存在性”和“唯一性”；（测评）可用常用统计软件统计显示测评结果；（补救）根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．可以通过动态几何软件，过直线外一点作直线的垂线，观察垂线的性质；通过测量直线外一点与直线上任意一点的
距离，探索垂线段最短的性质。
教学过程设计 课前检测
1．下面各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=70°，则∠AOC的度数是_____；若∠AOD=α，则∠AOC的度数是_______；
因此∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD这四个角中，只要已知______个角的度数，就可以知道另外_______个角的度数.
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数是__________
设计意图：检查学生对两直线相交中对顶角和邻补角性质的掌握程度，如果学生对于第1题做得不好，则需要在课前复习对顶角的特征。第2个问题考查对顶角，邻补角的性质，了解学生对两直线相交四个角关系的理解，第3个问题包含了角平分线，对顶角，邻补角的性质，检查学生综合运用能力，如果学生对于第3题做得不好，则需要回顾角平分线的意义和对顶角，邻补角的性质与几何问题的思考方法。
课堂引入
问题1：体育老师如何量跳远的成绩呢？
师生活动：学生发言，相互补充教师总结：测量距离起跳线最近的脚后跟到起跳线之间的距离.
追问：皮尺摆放时要满足哪些要求？
师生活动：教师引导学生发现皮尺与起跳线之间的位置关系
设计意图：从学生熟悉的问题情境出发，通过实际问题的解决体验垂线产生的必要性，同时为点到直线的距离作铺垫.
回顾旧知 动手操作
教师自制教具，将两根木条钉在一起(如图1)，固定其中一根木条a，转动木条b，请学生观察：
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问题2：回顾上一节课，在木条b的转动过程中，四个角之间有什么关系？
师生活动：学生回答对顶角相等，邻补角互补的性质.教师总结这四个角只要确定其中一个角的度数，就可以求另外三个角的度数.
追问：当有一个角为60°时，则另外三个角的度数分别是多少？当一个角等于90°呢？
师生活动：学生回答相应的度数.教师总结：当一个角等于90°时，这四个角都等于90°，这是相交的一种特殊情况.教师给出垂直的定义并补充垂线和垂足的概念和垂直的符号表示.
追问2：若已知这四个角相等呢，这两条直线有什么位置关系？为什么？
设计意图：从原有的知识出发，进一步理解相交线得到四个角之间的数量关系，让学生借助已有的知识发现数学问题，理解垂直是相交的特殊情况.
追问3：如图2，如何用符号语言表示垂直的定义呢？
师生活动：学生观察图形，完成用符号语言表示垂直定义，教师点拨，规范学生的书写过程,为几何推理奠定基础.
设计意图：从符号与图形两方面进一步提高对垂直概念的认识.
练习：找出下图3中互相垂直的直线，并表示出来.
师生活动：学生用符号表示垂直.
设计意图：把图形语言转化为符号语言.
问题3.你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？
师生活动：学生举例.教师多媒体出示生活中的图片(图4).
动手操作
问题4：如图5用三角尺或量角器画已知直线m的垂线，这样的垂线能画几条？
师生活动：教师鼓励学生用笔当垂线，摆一摆试一试，发现有无数条直线与直线m垂直.
追问（1）：如图6过直线m外一点A画已知直线m的垂线，这样的垂线有几条？
追问（2）：如图7过直线m上一点A，画已知直线m的垂线，这样的垂线有几条？
师生活动：学生动手尝试，得出结论
追问（3）：过直线上一点A，只有一条直线与直线m垂直吗？
追问（4）：这条直线应该满足什么条件时，只有一条呢？
师生活动：学生概括归纳定理并逐步完善(补充在同一平面内).
追问（5）：为什么定理中“有”还要强调“只有”？
师生活动：比如图5，有垂线而且可以画无数条，强调只有就表示只能画一条.
追问（6）：画已知直线的垂线需要哪几个步骤？
师生活动：师生共同小结画垂线的步骤：（1）靠（2）过（3）画的三步画法.
练习：如图8过P点画出已知射线AB或线段AB的垂线
追问：如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
师生活动：学生积极发言，教师做总结，提醒学生注意：两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直.
问题5：如图9，在一张透明的纸上画一条直线l，在l上取一点P，在外任取一点Q，折出过P点与l垂直的直线．这样的直线能折出几条？为什么？过Q点呢？
师生活动：学生通过折纸活动，直观体会“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质.
设计意图：通过动手操作画图与折叠，理解垂线的性质中的前提条件“在同一平面内”与理解“有且只有”，“有”表示存在性，“只有”表示唯一性.
例1：如图10直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度数.
师生活动：培养学生学习几何的良好习惯，一边读题，一边在图形上做标记.由OE⊥
AB能得到什么？知道了∠BOD的度数，可以求出哪些角？∠COE既可以看成两个角的和，
也可以看成两个角的差，那么要计算∠COE的度数也就是要求什么？
设计意图：这是综合性比较强的一道问题，既包含了前一节课的对顶角与邻补角，本节课的垂直的概念也包含了角的和差和余角，补角的知识.培养学生分析几何问题的方法，培养学生用几何语言推理的能力.
问题探究
问题6：在灌溉时，要把小池塘的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？
师生活动：教师引导分析，我们可以把小池塘和农田都抽象成几何中的点，这个点到另一点如何作最短路径？
问题7.在灌溉时，要把小溪的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？
追问（1）：农田和小溪可以分别抽象成几何中的什么元素？
师生活动：点和直线
追问（2）：在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？
追问（3）：猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
追问（4）：你能用一句话概括出观察得出的结论吗？
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师生活动：学生作图、观察、猜想，教师引导学生发现并归纳垂线的第二个性质.如有学生说法错误或者不完整，其他学生纠正、补充，在此基础上，教师揭示点到直线的距离的概念.
设计意图：把实际问题抽象成数学问题，通过动手操作，从取点中发现特征，归纳概括出一般的规律，培养学生发现问题，提出问题的能力.
练习：如图11，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则点A到BC的距离是_______，点B到AC的距离是_______，点B到点A的距离是__________．
追问：图形较复杂时，如何来寻找哪一条线段的长度才是已知点到已知直线的距离？
师生活动：学生讲解方法，教师小结：点到直线的距离只与已知点和已知直线.有关，所以描出所求问题中的点和直线，排除其他线段的干扰.
设计意图：巩固点到直线的距离的概念.
问题8：分析原理：体育老师量跳远的距离用的数学原理是什么？为什么？
追问：如何区分两点之间线段最短和点到直线的距离垂线段最短这两个原理？
师生活动：寻找题中的已知条件，并抽象成几何元素.
设计意图：研究问题的本质，通过抽象把实际问题转化为数学问题，理解体育老师这样测量的原理是利用了垂线的“唯一性”.
课堂小结
结合下面的知识结构图，请你回答以下问题：
（1）两直线垂直与相交有什么关系？
（2）垂线的两条性质是什么？
（3）过一点作已知直线的垂线的步骤是什么？
（4）两点之间线段最短与垂线段最短的区别是什么？
设计意图：通过小结，梳理本节课内容，掌握垂线的两条性质.