陕西省西安市高新一中2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）i是虚数单位，复数 A． 2﹣i
B． 2+i
=（）
C． ﹣1﹣2i
D．﹣1+2i
2．（5分）已知集合M={x|log2（x﹣1）＜2}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），则a+b=（）
A． 4 B． 5 C． 6 D．7 3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）
2233
A． a＞b+1 B． a＞b﹣1 C． a＞b D．a＞b
4．（5分）已知圆（x﹣a）+（y﹣b）=r的圆心为抛物线y=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为（） A．
C． （x﹣1）+y=1
2
2
2
2
2
2
B．
D． x+（y﹣1）=1
2
2
5．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则
=
（）
A． 1+ B． 1﹣ C． 3+2 D．3﹣2 6．（5分）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A．
7．（5分）将y=2cos（+
）图象按向量=（﹣
，﹣2）平移，则平移后所得函数的周期
B．
C．
D．
及图象的一个对称中心分别为（） A． 3π， D． 3π，
B．
6π，
C． 6π，
8．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A．
9．（5分）已知O为坐标原点，双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径
B．
C．
D．
作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（e为（） A． 2
+）•=0，则双曲线的离心率
B． 3 C． D．
10．（5分）已知a＞1，若函数
的根的个数最多有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个
二、填空题：（每小题5分，共25分）(一)必做题 11．（5分）如果执行如图所示的框图，那么输出的S等于．
，则f[f（x）]﹣a=0
D．4个
12．（5分）已知（2x+
dx=．
）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x，若a=（a0+a2+a4）﹣（a1+a3），则
4
2
3
4
2
2
13．（5分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量
，若
14．（5分）若对于函数f（x）=
，则2λ+μ的最大值为．
+b，现给出四个命题：
①b=0时，f（x）为奇函数；
②y=f（x）的图象关于（0，b）对称；
③b=﹣1时，方程f（x）=0有且只有一个实数根； ④b=﹣1时，不等式f（x）＞0的解集为空集． 其中正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）
（二）选做题：（请考生在下列A，B，C题中任选一题作答，若三题都做，则按所做的第一题计分）【不等式选讲】 15．（5分）已知函数a的取值范围．
【极坐标与参数方程选讲】
16．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，圆以C的参数方程是
（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是．
【几何证明选讲】
17．如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若∠AEB=30°，则∠PCE=．
f（x）的定义域为R，则实数
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
18．（12分）已知函数f（x）=x+x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N）均在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令cn=
+
证明：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+．
2*
19．（12分）港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？
20．（12分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论． 21．（12分）在抽样方法中，有放回抽样与无放回抽样中个体被抽到的概率是不同的，但当总体的容量很大而抽取的样本容量很小时，无放回抽样可以近似看作有放回抽样．现有一大批产品，采用随机抽样的方法一件一件抽取进行检验．若抽查的4件产品中未发现不合格产品，则停止检查，并认为该批产品合格；若在查到第4件或在此之前发现不合格产品，则也停止检查，并认为该批产品不合格．假定该批产品的不合格率为0.1，设检查产品的件数为X． （Ⅰ） 求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ） 通过上述随机抽样的方法进行质量检查，求认为该批产品不合格的概率．
22．（13分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为
+
=1（a＞b＞0）它的
离心率为，一个焦点是（﹣1，0），过直线x=4上一点引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）若在椭圆E
+
=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程是
+
=1．求
证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数λ，使得|立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．
23．（14分）已知函数f（x）=﹣x+x+b，g（x）=alnx． （1）若f（x）在
上的最大值为，求实数b的值；
2
3
2
+||=λ||•||成
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）
上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
陕西省西安市高新一中2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）i是虚数单位，复数
=（）
A． 2﹣i B． 2+i C． ﹣1﹣2i D．﹣1+2i
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．
解答： 解：复数=
故选A
点评： 本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．
2．（5分）已知集合M={x|log2（x﹣1）＜2}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），则a+b=（） A． 4 B． 5 C． 6 D．7
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 求出M中不等式的解集确定出M，根据M与N交集求出a与b的值，即可求出a+b的值．
解答： 解：由M中的不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，即0＜x﹣1＜4， 解得：1＜x＜5，即M=（1，5）， ∵N=（a，6），且M∩N=（2，b）， ∴a=2，b=5， 则a+b=7． 故选：D．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）
2233
A． a＞b+1 B． a＞b﹣1 C． a＞b D．a＞b
考点： 充要条件． 专题： 简易逻辑．
分析： 利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项． 解答： 解：a＞b+1⇒a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1， 故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件． 故选：A．
点评： 本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
4．（5分）已知圆（x﹣a）+（y﹣b）=r的圆心为抛物线y=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为（） A．
2
2
2222
B．
2
2
C． （x﹣1）+y=1 D． x+（y﹣1）=1
考点： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系． 专题： 计算题．
2
分析： 抛物线y=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标，利用圆与直线3x+4y+2=0相切，可求半径，即可得到圆的方程．
2
解答： 解：由题意，抛物线y=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标
∵圆与直线3x+4y+2=0相切，∴
2
2
∴圆的方程为（x﹣1）+y=1 故选：C．
点评： 本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆的圆心与半径．
5．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，（） A． 1+ B． 1﹣ C． 3+2
考点： 等差数列的性质；等比数列的性质． 专题： 计算题．
，2a2成等差数列，则
=
D．3﹣2
分析： 先根据等差中项的性质可知得2×（
）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q=1+2q，
2
求得q，代入中即可求得答案．
解答： 解：依题意可得2×（即，a3=a1+2a2，整理得q=1+2q， 求得q=1±， ∵各项都是正数 ∴q＞0，q=1+ ∴
=
=3+2
2
）=a1+2a2，
故选C
点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解． 6．（5分）把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A．
B．
C．
D．
考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计；排列组合．
分析： 由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．
解答： 解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；
如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，
再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；
如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，
得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，
第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，
根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种． 而将五球放到4盒共有
×
=240种不同的办法，
=
故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率P=
故选：C
点评： 本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．
7．（5分）将y=2cos（+
）图象按向量=（﹣
，﹣2）平移，则平移后所得函数的周期
及图象的一个对称中心分别为（） A． 3π， D． 3π，
B．
6π，
C． 6π，
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 直接利用函数图象的平移否则，即可求出平移后的函数解析式．利用周期公式可求
函数的周期，利用+=k（k∈Z）可解得图象的一个对称中心． ）图象按向量=（﹣
，﹣2）平移，得到函数y=2cos[（x+
）
解答： 解：将y=2cos（++
]﹣2的图象，
即函数y=2cos（+所以函数的周期T=
）﹣2的图象． =6π，
由：+=k（k∈Z）可解得图象的一个对称中心为：（3kπ
，﹣2）k∈Z，
，﹣2）k∈Z，
当k=0时，有图象的一个对称中心为：（
故选：C．
点评： 本题主要考查了向量的平移，函数解析式的求法，注意向量的平移和函数图象的平移的区别，属于基本知识的考查． 8．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A． B． C． D．
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．
分析： 根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．
解答： 解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图 我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1
则底面外接圆半径r=则球半径R=
2
，球心到底面的球心距d=
2
=
则该球的表面积S=4πR=
故选B
点评： 本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．
9．（5分）已知O为坐标原点，双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径
作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（e为（） A． 2 B． 3 C．
考点： 双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
+）•=0，则双曲线的离心率
D．
分析： 先画出图形，如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得AC⊥OF，根据
三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e． 解答： 解：如图，设OF的中点为C，则由题意得，∴AO=AF， 又c=OF，OA：y=所以A（，
，A的横坐标等于C的横坐标，
，
•
=0，∴AC⊥OF，
+
=
，
），且AO=
AO=
2
，所以a=b，
则双曲线的离心率e为故选C．
=．
点评： 本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知若（+）•=0的
情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10．（5分）已知a＞1，若函数
，则f[f（x）]﹣a=0
的根的个数最多有（） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 设t=f（x），则方程转化为f（t）﹣a=0，即f（t）=a，然后根据函数的图象确定x解的个数．
解答： 解：设t=f（x），则方程转化为f（t）﹣a=0，即f（t）=a， 当1＜x≤3时，﹣1＜x﹣2≤1，
∴此时f（x）=f（x﹣2）+a﹣1=a当﹣1＜x≤1时，当1＜x≤3时，∵a＞1，∴2a﹣1＞a.
x﹣2
+a﹣1．
，
，．
．
时，t最多有两个解．
由图象可知，∵f（t）=a＞1，∴当
其中t＜1，或1＜t＜3．
当t＜1时，函数t=f（x），只有一解x∈（﹣1，1）， 当1＜t＜3．函数t=f（x），最多有2个解． 故f[f（x）]﹣a=0的根的个数最多有3个． 故选C．
点评： 本题只有考查指数函数的图象和性质，利用换元法将方程转化为f（t）=a，然后利用图象确定方程根的个数，综合性较强，难度较大．
二、填空题：（每小题5分，共25分）(一)必做题 11．（5分）如果执行如图所示的框图，那么输出的S等于2．
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答： 解：当i=0时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=1，S=﹣， 当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2，S=2， 当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=3，S=﹣，
当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=4，S=2， 当i=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为2， 故答案为：2．
点评： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
12．（5分）已知（2x+
dx=π．
）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x，若a=（a0+a2+a4）﹣（a1+a3），则
423422
考点： 二项式定理的应用；定积分． 专题： 二项式定理．
分析： 在所给的等式中，分别令x=1，x=﹣1，可得2个等式，再根据所得的2个等式求出a，根据定积分的几何意义求出要求式子的值．
4234
解答： 解：在等式（2x+）=a0+a1x+a2x+a3x+a4x中，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4=（2+）4，
4
再令x=﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4=（﹣2+），
22
故a=（a0+a2+a4）﹣（a1+a3）=1，
则dx=dx=π，
故答案为：π．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，定积分的几何意义，属于基础题．
13．（5分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量
，若
考点： 简单线性规划． 专题： 计算题．
，则2λ+μ的最大值为5．
分析： 根据向量线性运算的坐标公式，得到，由此代入题中的不等式组，可得
关于λ、μ的不等式组．作出不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2λ+μ对应的直线进行平移，可得当λ=3，μ=﹣1时，目标函数取得最大值为5． 解答： 解：∵向量
，且
，
∴P（x，y）满足，代入不等式组，得
作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部， 其中A（﹣3，3），B（3，﹣1），C（2，﹣1），O为坐标原点 设z=F（λ，μ）=2λ+μ，将直线l：z=2λ+μ进行平移， 可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（3，﹣1）=2×3+（﹣1）=5 故答案为：5
点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数2λ+μ的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14．（5分）若对于函数f（x）=
+b，现给出四个命题：
①b=0时，f（x）为奇函数；
②y=f（x）的图象关于（0，b）对称；
③b=﹣1时，方程f（x）=0有且只有一个实数根； ④b=﹣1时，不等式f（x）＞0的解集为空集． 其中正确的命题是①②④．（写出所有正确命题的编号）
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 分析函数（x）=的奇偶性，可判断①；结合函数图象的平移变换法则和①
中结论，可判断②；根据方程sin|x|=x有且只有一个实根0，但0为方程f（x）=0的增根，可判断③；分类讨论
＞1解集的情况，可判断④
，f（﹣x）=
=
=﹣
，满足
解答： 解：①b=0时，f（x）=
f（﹣x）=﹣f（x）为奇函数，即①正确； ②y=f（x）的图象，由y=
的图象向上平移b个单位得到，由①知y=
的图象
关于原点对称，故y=f（x）的图象关于（0，b）对称，即②正确； ③方程sin|x|=x有且只有一个实根0，但x=0时，（x）=0无实数根，即③错误；
④当x＞0时，sin|x|＞x的解集为空集，即为空集．
当x＜0时，sin|x|＜x的解集为空集，即
＞1，的解集为空集，即f（x）＞0的解集为＞1，的解集为空集，即f（x）＞0的解集
=1，无意义，即b=﹣1时，方程f
空集．
综上，b=﹣1时，不等式f（x）＞0的解集为空集．故④正确 故正确的命题是：①②④； 故答案为：①②④
点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了y=y=
的图象和性质是解答的关键．
的图象和性质，熟练掌握和理解
（二）选做题：（请考生在下列A，B，C题中任选一题作答，若三题都做，则按所做的第一题计分）【不等式选讲】 15．（5分）已知函数
f（x）的定义域为R，则实数
a的取值范围（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 计算题；转化思想．
分析： 题目中条件：“f（x）的定义域为R”转化为|x+1|+|x﹣a|﹣2≥0在R上恒成立，下面只要求出函数|x+1|+|x﹣a|的最小值，使最小值大于等于2，解之即可．
解答： 解：∵f（x）的定义域为R，
∴|x+1|+|x﹣a|﹣2≥0在R上恒成立 而|x+1|+|x﹣a|≥|1+a|
∴|1+a|≥2解得a∈（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
点评： 本题考查函数的定义域及其求法，不等式的恒成立问题，属于中档题，求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是2015届高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．
【极坐标与参数方程选讲】
16．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，圆以C的参数方程是
（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是
．
考点： 圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 直线与圆．
分析： 利用直角坐标化为极坐标的公式即可得出．
解答： 解：由圆C的参数方程是
，∴圆心C
∴
=2，
（θ为参数），消去参数θ，化为
．
，又点C在第一象限，∴
．
．
∴以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是
故答案为．
点评： 熟练掌握直角坐标化为极坐标的公式是解题的关键．
【几何证明选讲】
17．如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若∠AEB=30°，则∠PCE=75°．
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 选作题；推理和证明．
分析： 利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决． 解答： 解：如图，PE 是圆的切线， ∴∠PEB=∠PAC，
∵PC是∠APE的平分线， ∴∠EPC=∠APC，
根据三角形的外角与内角关系有：
∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC， ∴∠EDC=∠ECD，
∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°， ∴∠EDC=∠ECD=75°， 即∠PCE=75°， 故答案为：75°．
点评： 本题考查弦切角的性质和应用，合理运用三角形的外角与内角的关系和数形结合法是关键．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（12分）已知函数f（x）=x+x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N）均在函数f（x）的图象上．
2
*
（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令cn=
+
证明：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+．
考点： 数列与函数的综合；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；证明题．
分析： （1）点（n，Sn）均在函数y=f（x）的图象上，则sn=n+n，可得an=Sn﹣Sn﹣1=n+1，并验证a1即可； （2）证明：由cn=
+
＞2，得c1+c2+…+cn＞2n；由cn=
﹣
）=2n+﹣
+
=2+
﹣
，得
2
c1+c2+…+cn=2n+（﹣+﹣+…+
＜2n+；即证．
解答： 解：（1）∵点（n，Sn）均在函数y=f（x）的图象上， ∴
，
*
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n+1，a1也适合，所以an=n+1（n∈N）． （2）证明：∵
，∴c1+c2+…+cn＞2n；
=2+
﹣
，∴c1+c2+…+cn=2n+（﹣+﹣+…+
﹣
）=2n+﹣
又cn=
+
＜2n+；
∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+．
点评： 本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题． 19．（12分）港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题．
分析： 在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，进而可求sin∠CDB，由三角形的内角和定理可得
，可求AD
，再在△ACD中，由正弦定理知，
解答： 解：在△BDC中，由余弦定理可得，=
∴∴
=
在△ACD中，由正弦定理知，
∴AD=
船距港口还有15海里．
点评： 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题． 20．（12分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
考点： 直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 专题： 计算题；证明题．
分析： 法一（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明． （2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证
想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
法二，根据题意，构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解（1）利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断线面关系，
（2）通过求两个平面法向量的夹角求二面角． 解答： 解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB， 又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．∴AB∥平面DEF．
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角 ∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角 在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=
，cos∠MNE=
．
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE 证明如下：在线段BC上取点P．使∴PQ⊥平面ACD∵
，过P作PQ⊥CD与点Q，
在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．
法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为
则即
所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为
（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴
所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE 另解：设又
∵把∴
代入上式得
，
所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE
点评： 判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解． 21．（12分）在抽样方法中，有放回抽样与无放回抽样中个体被抽到的概率是不同的，但当总体的容量很大而抽取的样本容量很小时，无放回抽样可以近似看作有放回抽样．现有一大批产品，采用随机抽样的方法一件一件抽取进行检验．若抽查的4件产品中未发现不合格产品，则停止检查，并认为该批产品合格；若在查到第4件或在此之前发现不合格产品，则也停止检查，并认为该批产品不合格．假定该批产品的不合格率为0.1，设检查产品的件数为X． （Ⅰ） 求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ） 通过上述随机抽样的方法进行质量检查，求认为该批产品不合格的概率．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计．
分析： （1）X可能取得所有可能值，得出概率，列出分布列．
（2）认为该批产品合格的概率是
解答： 解 （1）由题意得，X的可能值为1，2，3，4，则有：
，从而得出不合格的概率．
，
，
随机变量X的分布列分布列为： X 1 2 P ∴EX=
（2）认为该批产品合格的概率是从而该批产品不合格的概率是P=1﹣
，
，
3
=3.439．
4
，
=0.3439．
点评： 本题主要考查随机变量的分布列和概率求法，属于中档题型．
22．（13分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为
+
=1（a＞b＞0）它的
离心率为，一个焦点是（﹣1， 0），过直线x=4上一点引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）若在椭圆E
+
=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程是
+
=1．求
证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数λ，使得|立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
+||=λ||•||成
分析： （Ⅰ）椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）它的离心率为，一个焦点是（﹣1，0），
计算a，b，即得结论；
（Ⅱ）通过分别将点M的坐标（4，t）代入切线方程，利用两点确定唯一的一条直线，即得结论；
（III）通过将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理计算
+
即可．
解答： （I）解：椭圆方程+=1（a＞b＞0）的焦点是（﹣1，0），故c=1，
又=，所以a=2，b=，
所以所求的椭圆方程为．…（4分）
（II）证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t）， 则切线方程分别为
，
，
=1，故直线AB的方程是x+
=1，
又两切线均过点M，可得点A，B的坐标都适合方程x+显然直线x+
=1恒过点（1，0），故直线AB恒过定点C（1，0）．…（9分）
=1，代入椭圆方程，整理得（，y1y2=﹣
，
+4）y﹣2ty﹣9=0，
2
（III）解：将直线AB的方程x+所以韦达定理可得：y1+y2=不妨设y1＞0，y2＜0， |AC|=
=
y1，
同理|BC|=﹣
y2，…（12分）
所以+=（﹣）==，
即：|AC|+|BC|=|AC|•|BC|， 所以λ=…（14分）
点评： 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．
23．（14分）已知函数f（x）=﹣x+x+b，g（x）=alnx． （1）若f（x）在
上的最大值为，求实数b的值；
2
3
2
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）
上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；
（2）由g（x）≥﹣x+（a+2）x，得值，即可求得a的取值范围； （3）由条件，
2
恒成立，即，求出最小
，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，
3
2
则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t+t），且t≠1，则是否
232
存在P，Q等价于方程﹣t+F（t）（t+t）=0在t＞0且t≠1时是否有解．
322
解答： 解：（1）由f（x）=﹣x+x+b，得f′（x）=﹣3x+2x=﹣x（3x﹣2）， 令f′（x）=0，得x=0或． 列表如下： x f′（x） f（x） ∵∴即最大值为
2
﹣ ↘ ，
，
0 0
+
0
﹣
极小值 ↗
，
极大值 ↘
，∴b=0．…（4分）
2
（2）由g（x）≥﹣x+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x﹣2x． ∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取， ∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0， ∴
恒成立，即
．
令，求导得，，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴tmin（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分） （3）由条件，
，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，
32
不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t+t），且t≠1．
∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴
2
3
2
，
∴﹣t+F（t）（t+t）=0…（*），…（10分）
是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．
2323242
①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t+（﹣t+t）（t+t）=0，化简得t﹣t+1=0，此方程无解； …（11分）
②若t＞1时，（*）方程为﹣t+alnt•（t+t）=0，即设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则
，
2
3
2
，
显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．
∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）
点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．
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