山东省潍坊市安丘第八中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
参：
D
如图所示，在长宽高分别为
的长方体中，
， 则题中三视图对应的几何体是一个由图中的三棱柱
和三棱锥
组成的组合体，
故其表面积为：
，
本题选择D选项.
2. 已知向量，满足
且
则与的夹角为
A． B． C． D．
参：
C 解析：
3. 数列
中第10项是（ ）
A B C D
参：
A
4. 函数
的单调递减区间是（ ）
A． B．
C．
D．
参：
C
5. 已知，，那么
=（ ） A．
B．
C．
D．
参： C
略
6. 设函数f（x）=a
﹣|x|
（a＞0且a≠1），f（2）=4，则（ ）
A．f（﹣2）＞f（﹣1） B．f（﹣1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（2） D．f（﹣2）＞f
（2）
参：
A
【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点．
【分析】本题考查的知识点是指数函数的单调性，由函数f（x）=a﹣|x|（a＞0且a≠1），f（2）=4，我们不难确定底数a的值，判断指数函数的单调性，对四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【解答】解：由a﹣2
=4，a＞0
得a=，
∴f（x）=（）
﹣|x|
=2|x|
．
又∵|﹣2|＞|﹣1|， ∴2|﹣2|＞2|﹣1|，
即f（﹣2）＞f（﹣1）． 故选A
【点评】在处理指数函数和对数函数问题时，若对数未知，一般情况下要对底数进行分类讨论，分为0＜a＜1，a＞1两种情况，然后在每种情况对问题进行解答，然后再将结论综合，得到最终的结果．
7. 已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．1或4 Ｃ．4 Ｄ．2或4
参：
B
8. 已知正切函数f（x）=Atan（ω x+）（ω ＞0，||＜），y=f（x）的部分图象如图所示，
则
=（ ）
A． 3 B． C． 1 D．
参：
A 由题知， ∴
，∴
，
又∵图象过
，∴，∴
，
∵
，∴
，
又∵图象过（0，1），∴，
∴，
∴
，∴
，故选：A．
9. （5分）若奇函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，那么的g（x）=loga（x+k）大致图象是（）
A． B． C． D．
参：
C
考点： 对数函数的图像与性质；奇函数． 专题： 计算题；图表型；函数的性质及应用．
分析： 由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数g（x）的图象．
解答： ∵函数f（x）=kax﹣a﹣x
，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数，
则f（﹣x）+f（x）=0．
即（k﹣1）ax
+（k﹣1）a﹣x
=0，解之得k=1．
又∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数， ∴a＞1，可得g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）． 函数图象必过原点，且为增函数． 故选：C
点评： 若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
10. 函数
的零点所在的大致区间是( )
A．
B．
C．
D．
参：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．
参：
【考点】反函数． 【专题】计算题．
【分析】欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题． 【解答】解：若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1）， 则原函数的图象过点（﹣1，2），
∴2=a﹣1，a=．
故答案为．
【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．
12. 设
，则满足条件的所有实数a的取值范围为 ； 参：
13. 若数列
是等差数列，其前项的和为
，则
也是等差数
列，类比以上性质，等比数列
，则
=__________，
也是等比数列
参：
14. 给出下列命题：
①函数
是偶函数；
②函数
在闭区间
上是增函数；
③直线是函数图象的一条对称轴；
④将函数
的图象向左平移单位，得到函数的图象；
其中正确的命题的序号是 . 参： ①③ 略
15. 已知A（1，2）和B（3，2），若向量＝（x+3，x2－3x－4）与
相等，则x=_____;
参：
－1
【分析】
首先求出向量，再由向量相等的定义可得关于的方程组，解方程即可。
【详解】
，，
，
又
向量
与
相等，
，解得：
【点睛】本题主要考查向量的表示以及向量相等的定义，属于基础题型。
16. 已知函数,若,则实数的值为 .
参：
17. 函数的单调递增区间是 ．
参：
因为此函数的定义域为,根据复合函数的单调性判断方法可知此函数的单调
递增区间为
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，
B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． （Ⅰ）指出函数f（x）的值域； （Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若f（x0）=
，且x0∈（﹣
，），求f（x0+6）的值．
参：
【考点】正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）由函数的解析式求得函数的值域．
（Ⅱ）根据等边三角形 ABC的边长为半个周期，求得ω的值，可得函数的解析式．
（Ⅲ）由f（x0）=，求得sin（x0+）=．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得
f（x0+6）的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=2sin（ωx+），可得函数f（x）的值域为．
（Ⅱ）由题意可得等边三角形 ABC的边长为=4，
∴?
=4，求得ω=
，∴f（x）=2
sin（
x+
）．
（Ⅲ）若f（x0）=2
sin（
x0+
）=
，则sin（
x0+
）=．
f（x0+6）=2sin=2sin（x0++）=﹣cos（x0+）．
∵x0∈（﹣
，），∴
x0+
∈（﹣
，
），
∴cos（x0+）==，
∴f（x0+6）=﹣．
【点评】本题主要考查正弦函数的值域，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
19. 已知函数，函数
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存
在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
参：
解：（1）∵
，
∴
，
令u=mx2
+2x+m，则，
当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若的定义域为R，
则
，
解得m＞1，
综上所述，m＞1 …
（2）
=
，
x∈[﹣1，1]，
令，则，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线， 故当时，
时，
； 当
时，t=a时，
；
当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．
综上所述，
…
（3）
， 假设存在，由题意，知
解得
，
∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…
考点：对数函数的图像与性质．
专题：分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．
分析：（1）若
的定义域为R，则真数大于0恒成立，结合
二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结果，可得答案； （2）令
，则函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化为：y=t2﹣2at+3，
，结合二
次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h（a）的表达式，综合讨论结果，可得答案；
（3）假设存在，由题意，知
解得答案．
解答：解：（1）∵，
∴，
令u=mx2
+2x+m，则
，
当m=0时，u=2x，
的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若的定义域为R，
则
，
解得m＞1，
综上所述，m＞1 …
（2）
=，
x∈[﹣1，1]，
令
，则
，y=t2
﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线， 故当时，
时，
； 当
时，t=a时，
；
当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．
综上所述，…
（3），
假设存在，由题意，知
解得，
∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键
20. （10分）求以N（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣7=0相切的圆的方程．
参：
考点： 直线与圆的位置关系；圆的标准方程． 专题： 综合题．
分析： 要求圆的方程，已知圆心坐标，关键是要求半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等
于半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线3x﹣4y﹣7=0的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和求出的半径写出圆的方程即可．
解答： 因为点N（1，3）到直线3x﹣4y﹣7=0的距离
，
由题意得圆的半径r=d=
，
则所求的圆的方程为：
．
点评： 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件是圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
21. （12分）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.
（Ⅰ）求通项及
；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.参：
解：⑴ ------------------------------2分
--------------------------------------5分
⑵由题意得： --------------------------------------7分 所以
----------------------------------9分高考资源网
所以略
----------------------------12分
由定义可证在上是单调递减函数，（此处参省略定义证明过程,考生倘若用此法解
题，必须写明证明过程，不可用复合函数单调性说明）， ks5u………12分 所以
22. （本小题满分14分）设向量其中是
的内角．
且
所以取值范围为
……ks5u…………14分
（Ⅰ）求
的取值范围;
（Ⅱ）试确定的取值范围.
参：
解：因为,
所以
，
………………2分 即
又所以即
………………4分
（Ⅰ）=
因此
的取值范围是
ks5u………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以
设=,则,所以
即 令 则 …………10分