一类非线性抛物方程的高精度有限元分析

河北科技师范学院学报第２７卷第２期，２０１３年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２０１３　ＤＯＩ：１０．３９６９／Ｊ．ＩＳＳ　Ｎ．１６７２－７９８３．２０１３．Ｏ２．０１２　一类非线性抛物方程的高精度有限元分析　尹洪武，张步英，王　静　（１河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北秦皇岛，０６６００４；２河北科技师范学院欧美学院）　摘要：研究了一类完全非线性抛物方程的有限元方法，利用插值后处理技巧得到了其经典的双Ｐ次有限元方　法半离散格式下的整体超收敛结果。　关键词：完全非线性抛物方程；高精度有限元；插值后处理技巧　中图分类号：０２４２．２１　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７２－７９８３（２０１３）０２－００５３－０４　完全非线性抛物方程是一类含时间与空间变量混合偏导的高阶非线性偏微分方程，该类方程具有　着很强的实际应用背景，大量实际的物理学、化学和生物学的数学模型均可抽象为完全非线性抛物方　程。目前，关于这类问题的有限元方法的研究也有很多，如陈红斌等…探讨了该类问题的Ｈ　一Ｇａｌｅｒｋｉｎ　方法，顾海明等　Ｊ、赵国忠等　又分别对完全非线性抛物方程和非线性抛物型积分一微分方程动边界问　题的有限元方法进行了研究。另外，对非线性抛物积分微分方程有限元方法的超收敛的研究也有一　些　ｊ。利用文献［４，５］中的方法，张步英等　研究了一类完全非线性抛物方程双线性有限元方法的整　体超收敛结果。在文献［６］研究结果的基础上，笔者进一步讨论了经典的双Ｐ次有限元方法对完全非　线性抛物方程的整体超收敛性质，突破了文献［６］只针对双线性元才存在的整体超收敛结果。　１模型问题　本次研究考虑如下完全非线性抛物方程　，ｃ（　）　一Ｖ・（　（　）Ｖ　）＝　），（　，ｔ）∈　×［０，Ｔ］　｛“（　，　）：ｏ，（　，￡）∈　×［０，Ｔ］　（１）　Ｌｕ（ｘ，０）＝　０（　），　∈　其中：　＝ｘ。，Ｘ２），　ｃＲ　为一个凸多边形区域，Ⅱ　＝　。设口（　），ｃ（ｕ）均有正下界，分别记作口。，ｃ０，　且函数口，ｃ　均适当光滑且有界。　１．１相应的弱形式　问题（１）的Ｇａｌｅｒｋｉｎ逼近格式为：求ｕ（・，ｔ）：［０，明　矾（　），满足：Ｖ　∈磁（　）。　『（ｃ（　）　）＋（口（　）　，　）＝　），　），　…　、【　ｕ（０）＝ｕ。，　、０，　其中（・，・）表示　（　）上的内积，并记Ｉｆ　ｌｌ　＝（ｉｔ，　）。　１．２离散问题　设　为满足正则性条件川的　的均匀矩形网格剖分，对于任意的ＫＥ　，记ｈ　为单元Ｋ的直径，ｈ　＝ｍ　ａｘ　ｈ　。本次研究考察（１）的双ｐ次元逼近，相应的有限元空间为：　＝｛　∈日　（　）；　Ｉ　∈Ｑ　，Ｋ∈　｝　其中，Ｑ　＝ｓｐａｎ｛　，０≤　，　≤ｐ｝。　这样，（１）的Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限元逼近格式为：求Ｕ（・，ｔ）：［０，Ｔ］＿＋　，使得Ｖ　∈　。　基金项目：河北省高等学校科学技术研究项目（项目编号：Ｚ２０１２１７０）。　收稿日期：２０１３－０１－０３；修改稿收到日期：２０１３４３４—１７　河北科技师范学院学报　２７卷　ｆ（ｃ（　）　，口）＋ａ（Ｕ　）＝（　Ｕ），ｔ，），　【　（Ｏ）＝／ｕ。，　其中　为　（　）　的插值算子。　（ｆ　３３））　２　相关引理　记ｔＯ：　一／ｕ，　＝　一／ｕ　，Ｉ１．　＝ＩＪ・ＩＩ　ｕｓ（ｎ￣，　不同的地方表示内容不同。　弓Ｉ理１　。　设　，　Ｅ／Ｆ　（　），贝ⅡＶ移∈　有：　＝（口，口）　＝ｆ口　。ｃ表示广义常数，它在　（　，　）　＝０（坛“）ｌｌ　Ｍ　ｌｌ　＋２．　ＩＩ　（　，　）　＝Ｄ（　“）ＩＩ　ＩＩ　＋２．　Ｉ１　Ｉｌ　利用　一日引理及引理１，有：　弓ｌ理２设ｚ‘，　，Ｅ／Ｆ　（力），　（　，ｔ）Ｅ　’　（．　×［０，Ｔ］），贝４　Ｖ　∈　（卢（　，ｔ）ｖ，ｏ，　）　＝ｏ（　）Ｉｌ　：Ｉ１　，　（卢（　，ｔ）Ｖｗ　，　）　＝０（　）　：ｌＩ　．　引理３设ａ（ｕ），ｂ（　）满足相应假设条件，又　，　∈　（０，　；／／Ｐ　（　）），则Ｖｔ，∈　（口（　）　，ｖｖ）＝ｏ（ｈｐ¨）ＩＩ　ｕ　Ｉｌ州胁＋２１　ＩＩ　ＩＩ　（口。（ｕ）ｖｗ，　）＋（口（　）　）＝０（　＋１）（ＩＩ　（胂＋：）＋　（肿＋　））ＩＩ　Ｗ　ｌ　１另外，在此还需要如下２个重要的不等式：设　（・，ｔ）ＥＬ２（力），若　（・，０）＝Ｏ，则有　ＩＩ　（１）≤　ｆ　Ｉ　ｌｄｓ　且　（４）　ｄｓ，占＞ｏ　（５）　ｌＩ　（ｔ）≤ｃ　ｆ‘ＩＩ　（ｓ）ＩＩ　ｄｓ＋占ｆ‘　３主要结论　定理１设　及　分别是（２）式和（３）式的解，并设ｕ，　Ｅ￡。（０，　；Ｈｐ　），则有下列误差估计：　ＩＩ　一　ＩＩ　（Ⅳ。）Ｃｈｐ¨（Ｉｌ　Ｉ／，ｌ　ｌＬ＊（　＋　）＋ｌｌ　ｕ　ｌｌ　（肿＋　））　证明：记０＝Ｕ一／ｕ，由（３）式与（２）式作差得到误差方程为，Ｖ　∈　有　（ｃ（Ｕ）０　，移）＋（ａ（ｕ）Ｖｏ，　）＝（ｃ（　）　，ｔ，）＋　）一　），　）＋（（ｃ（　）一ｃ（ｕ））几。，”）＋　（ａ（Ⅱ）　，ｖ口）＋（（口（　）一ｎ（Ｕ））Ｖ／ｕ，Ｖｖ）　（６）　为简便起见，记（６）式右端项为ａ（ｖ）。取ｔ，＝　，注意到ｏ（ｏ）＝０。对（６）式两端关于ｔ求积分，有　，ｆ‘（ｃ（　）　。，　）曲＋÷（口（ｕ）Ｖｏ，　）＝告ｆ‘（口　（ｕ）Ｖｏ，Ｖｏ）曲＋ｆ　Ａ（　；）ｄ　０　厶　●ｊ　０　ｊ　０　（７）　作归纳假设Ｉｌ　Ｖ钏　Ｌ．）≤ｌ。　利用分部积分法，引理３，及（４）式、（５）式对（７）式右端各项估计如下：　告ｆ二Ｊ　‘０　（口　（Ｖ）Ｖｏ，Ｖｏ）ｄｒ＜￣Ｃ　ＶＪ　０　　ｌ　ｌｄｔ，　÷ｆ‘Ｊ　‘０　（ｃ（ｕ）ｔｃ『　，　）曲￣＜Ｃｈ２ｏ＋　２（艘＋２）＋　Ｊ　０　ＩＩ　ｄｔ，　２期　尹洪武等一类非线性抛物方程的高精度有限元分析　５５　号　（　￡，）一　ｎ），　）曲＝号厂０　ｕ）一，（　），　ｄ　＋丢　（　）一ｊｒ（ｕ），　曲　≤ｃ　Ｊ　ＩＩ　ｏ　Ｉ１０　Ｉ　ｄ．ｒ＋÷Ｊ‘，Ｊ　．０‘　Ｉ　ｄ　￣Ｃｈ２Ｐ＋　２　）＋　０　Ｉ　Ｉｄｔ＋Ｃ　ｄｚｄｓ，　Ｊ　０　Ｊ　０Ｊ　０　÷　（（ｃ（　）一ｃ（　））　。，　）ｄ　＝　（（ｃ（ｕ）一ｃ（Ｉｕ））ｌｕ　，　）ｄ　＋　（（ｃ（　）一ｃ（　））　，　）ｄ　≤　却＋。Ｉｌ　０　。ｃ胂＋：，＋　ＪＩ　ｌ　ｌ。ｌ　ｌｄ　＋Ｃ　ｆｏ＇ｆ　ｌｌ　ＩＩ　ｄ　ｄｓ，　Ｊ　０　ｆ‘（口（　）　）曲＋ｆＪ　０　‘（（口（　）一口（　））　，　）ｄ丁　￣Ｃｈ２ｐ＋　（Ｉｌ　Ｉｌ　２州胛＋２）＋Ｉ　ＪⅡ　０州２胛＋２】）＋Ｃ　ｆ‘ｌ　１Ｉ｝　ｄｔ，　Ｊ　Ｏ　结合上述估计结果及初始假设条件，有　ｃ０　¨孚ＩＩ　Ｖｏ　ＩＩ　≤　（ＩＩ　：　＋２）＋ｌｌ　Ｉｌ　ｌ＋２））＋ｃ　ＩＩ　Ｖｏ　ＩＩ　ｄ丁＋　占　ｄａ＂＋ｃ　Ｉ　Ｊ　ｄｒｄｓ＋　Ｉｆ　Ｖ　（８）　Ｊ　０　ｊ　０　Ｊ　０　利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，有　ｌＩ　２、≤Ｃｈｐ＋１（ＩＩ　Ｉｌ川船＋２１＋Ｉｌ　ｚ‘。Ｉ　ｌ＋２１）　（９）　由庞加莱不等式知，结论成立。　最后对归纳假设进行证明。类似于文献［９］的方法，由逆不等式及（９）式，当＾　时有　ｌＩ　Ｖｏ　ｌＩ‘。（‘．）≤　一　ＩｌＶｏ　Ｉｌ‘。（正２）≤Ｃ　＝ｏ（１）　即ＩＩＶ口ｌｌ州　≤ｌ的假设是合理可行的。　定理证毕。　４整体超收敛　按照林群等　。　的方法构造力的直径为２　的剖分　，并记相应的插值算子为　，满足下列性质　（１）　ｌｕ＝　；　（２）ｌＩ，２＾ｚ‘０　≤Ｃ　Ｉ　ｌＵ　ＩＩ，；　（３）Ｉｌ　一　ｌ‘Ｉｌｌ≤　¨ＩＩ　０　ｐ￣２Ｏ　定理２在定理ｌ的条件下有：　ｌ　Ｉ—Ｕ　０　Ｌ。（ｔｌ！）≤Ｃ　＋１（ＩＩ　Ｕ　ｌＩ　（腑＋　）＋ｌＩ　１　０　－（舯＋　））　证明　由于　Ｕ—　＝　一，２＾　＋　ｕ一Ⅱ，利用定理１，三角不等式及　的性质有：　ｌ　ｌ—ｎ　ｌＩ　Ｌ．（　）≤Ｉｌ　一，２＾丸ｌｌ　（．Ｉ５ｆ　）＋ｌＩ　＾　—　ｌ　Ｉ（日‘）　≤Ｃ　一儿ｌｌ州ＩｔＩ）＋ｌｌ，２＾ｚ‘一ＩＩ，Ｉ　ｌ日。）　≤　¨（　Ｉ￡。（　＋　）＋ｌＩ　。ｌ　ｌ（１ｔＶ￣２）），　定理证毕。　参考文献：　［１］陈红斌，徐大，刘晓奇．非线性抛物型偏积分微分方程的Ｈ￣－Ｇａｌｅｒｋｉｎ混合有限元方法［Ｊ］．应用数学学报，２００８。３１　５６　（４）：７０２－７１２．　河北科技师范学院学报　２７卷　［２］顾海明，许秀灵，刘海行．一类完全非线性抛物方程的计算方法［Ｊ］．青岛化工学院学报，１９９８，１９（２）：１５８—１６２．　［３］赵国忠，曹军．二维非线性抛物型积分一微分方程动边界问题的有限元方法［Ｊ］．内蒙古大学学报：自然科学版，　２００７，３８（１）：１７－２１．　［４］李潜．非线性抛物型问题的Ｇａｌｅｒｋｉｎ逼近的整体超收敛性［Ｊ］．高等学校计算数学学报，１９９４（３）：２８８－２９２．　［５］　ＳＨＩ　Ｄ　Ｙ，ＺＨＡＮＧ　Ｂ　Ｙ．Ｈｉｓｈ　Ａｃｃｕｒａｃｙ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ａｎｉｓｏｔｍｐｉｅ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｐａｒａｂｏｌｉｃ　Ｉｎｔｅｇｒｄｉｏｆｅｒ－　ｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓｐ［Ｊ］．Ｍａｔｈ　Ａｐｐｌ，２００８，２１（３）：４３６４４２．　［６］张步英，吕金凤，胡贵江．一类完全非线性抛物方程有限元方法的整体超收敛［Ｊ］．重庆文理学院学报：自然科学　版，２００９，２８（１）：２２－２３．　［７］　ＣＩＡＲＬＥＴ　Ｐ　Ｇ．Ｔｈｅ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｅｌｌｉｐｔｉｃ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｎｏａｈ．Ｈｏｌｌａｎｄ：Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，１９８７．　［８］林群，严宁宁．高效有限元构造与分析［Ｍ］．保定：河北大学出版社，１９９６．　［９］ＤＯＵＧＬＡＳ　Ｊ．Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ　ｉｎ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｉｓｃｉｂｌｅ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ　Ａｎａｌ，１９８５，２２（５）：　９６２－９６９．　作者简介：尹洪武（１９６３一），男，副教授，硕士。主要研究方向：数学与应用数学。　（责任编辑：朱宝昌）　Ｔｈｅ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａ　Ｋｉｎｄ　ｏｆ　Ｓｔｒｏｎｇｌｙ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｐａｒａｂｏｌｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＹＩＮ　Ｈｏｎｇ—ＷＵ，ＺＨＡＮＧ　Ｂｕ—ｙｉｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｊｉｎｇ　（１　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ　Ｈｅｂｅｉ，０６６００４；２　Ｅ＆Ａ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，ｔｔｅｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ；Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　Ｓｔｒｏｎｇｌｙ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｓｏｌｖｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｄｅｇｒｅｅ　Ｐ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　ｍｅｓｈｅｓ．Ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｕｐｅｒ—ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｓ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｃｈｅｍｅ’Ｓ　ｅｒｒｏｒ　ｅｓ—　ｔｉｍａｔｅ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｐｏｓｔ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｗｉｈｏｕｔｔ　ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ　ｔｏ　ｈｅ　ｔｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　Ｒｉｔｚ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＳＯ—　ｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｐｐｅａｒｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｓｔｕｄｉｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　ａｎｄ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　（上接第４２页）　作者简介：张慎好（１９６５一），男，硕士，教授。主要研究方向：蔬菜栽培与生理。　（责任编辑：石瑞珍）　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　Ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ“Ｙｉ－ｇｕｏ－ｌｉｎｇ’’ｏｎ　Ｔｏｍａｔｏ　ＺＨＡＮＧ　Ｓｈｅｎ—ｈａｏ　，ＹＡＮＧ　Ｓｈｕ—ｚｏｎｇ　，ＷＥＩ　Ｍｉｎｇ—ｌｉａｎｇ　，　ＣＨＥＮ　Ｈａｉ－ｊｕ　，ＳＨＡＯ　Ｙａ—ｓｈａｎ　，ＦＡＮ　Ｗｅｉ—ｑｉａｎｇ　（１　ＣｏＵｅｇｅ　ｏｆ　Ｈｏｒｔｉｃｕｌｔｕｒｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ　Ｈｅｂｅｉ，０６６６００；２　Ｂｕｒｅａｕ　ｏｆ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ　ａｎｄ　Ｈｕｓｂａｎｄｒｙ　ｏｆ　Ｚｕｎｈｕａ，ｈｅｂｅｉ；　３　Ｂｕｒｅａｕ　ｏｆ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ　ａｎｄ　Ｈｕｓｂａｎｄｒｙ　ｏｆ　Ｌａｏｔｉｎｇ，ｈｅｂｅｉ；Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓ　ｔｈｅ　ｔｅｓｔ　ｍａｔｅｒｉａｌ。ｔｏｍａｔｏ　ｗａｓ　ｔｒｅａｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｓ　ｏｆ“Ｙｉ—ｇｕｏ—ｌｉｎｇ’’ａｎｄ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｇｒｏｗｔｈ　ｏｆ　ｔｏｍａｔｏ　ａｎｄ　ｆｒｕｉｔ　ｑｕａｌｉｔｙ　ｗｅｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｗｉｔｈ　ｗａｔｅｒ　ａｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏ１．ｆｏｕｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｃｏｎ—　ｃｃｎｔｒａｔｉｏｎｓ　ｏｆ“Ｙｉ—ｇｕｏ—ｌｉｎｇ”ｗｅｒｅ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｔｅｓｔ　ｔｈｅ　ｇｒｏｗｔｈ　ａｎｄ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｏｍａｔｏ　ｆｒｕｉｔ　ｑｕａｌｉｔｙ　ＳＯ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｇｏｏｄ　ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｓｅｌｅｃｔｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ“Ｙｉ—ｇｕｏ－ｌｉｎｇ”ｃｏｕｌｄ　ｓｉｇｎｉｉｆ—　ｃａｎｄｙ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｇｒｏｗｔｈ　ｒａｔｅ　ｏｆ　ｔｏｍａｔｏ　ｆｒｕｉｔ，ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｆｒｕｉｔ　ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ｄｅｃｒｅａｓｅ　ｉｔｓ　ｆｉｍｎｅｓｓ　ｒａｎｄ　ｓｏｈｂｌｅ　ｓｏｌ－　ｉｄｓ　ｃｏｎｔｅｎｔ，ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ａｃｉｄ　ｃｏｎｔｅｎｔ．Ｗｉｈ　ａｌｔｌ　ｔｈｅ　ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ，ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ　ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　１．０　ｍｇ／ｋｇ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｙｉ・・ｇｕｏ－－ｌｉｎｇ；ｔｏｍａｔｏ；ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｓ