摆角、摆长和摆锤大小对摆的周期影响研究
彭金松，李金舟
【摘 要】［摘 要］采用理论分析和实验研究相结合的方法，分别研究了摆角、摆长和摆锤大小对摆的周期的影响。在摆角小于5°、摆长在1 m左右和摆锤半径较小时，并忽略空气阻力的情况下，两种理论方法计算的结果与实验测量结果相一致，可把这种摆当作单摆来处理。
【期刊名称】河池学院学报
【年(卷),期】2011(031)002
【总页数】3
【关键词】［关键词］ 单摆;周期;摆角;摆长;摆锤
0 引言
其中，l为摆长，g为重力加速度。但这个公式只适用于小摆角(θ0≤5°)的情况。若要研究大摆角(θ0超过5°时)的情况则要用近似解法推导的周期公式［2］
单摆是研究简谐振动的典型例子，它是由一根上端固定的不计质量、不可伸长的细线，下端悬挂一可以看成质点的小球组成的装置。其周期公式［1］为
该公式简洁、实用、精确度高。对于单摆的教学研究来说，它物理意义明确，在0°≤θ0≤90°范围内误差不高于10－4数量级，用于研究单摆的摆角、摆长和摆锤大小对周期的影响十分理想。
1 摆角对周期的影响
在理论计算单摆的周期时通常把单摆摆动的角度在小于5°范围内，只有这样单摆的运动才可以近似地认为是简谐振动［3，4］。如果超出这个小角度，单摆的运动方程将成为非线性微分方程，不可能简单地利用微积分基本定理来精确求解［5］。要求解大角度情况下单摆的周期就需要相应的公式。现取摆角在3°到30°间的若干值分别用公式(1)和公式(2)进行计算，所得结果如表1的第二列和第三列。这里取l=1.00 m，g=9.8 m/s2，π =3.14。
在相同的条件下，用实验方法对摆的周期进行实验测量，对于每一摆角用秒表测量连续摆动50个周期所用的时间t，并用T'=t/50求出周期，共测量3次求其平均值。不同摆角下周期的测量结果如表1第四列。表1中的第五列是公式(2)的结果与公式(1)的结果的差，第六列是实验结果与公式(1)的结果的差。
从表1可以看出，随着摆角的逐渐增大，用公式(1)计算的结果是不变的，因为此公式与摆角无关，而用公式(2)计算的结果和用实验得到的结果是逐渐增大。摆角小于6°时，公式(1)的结果与公式(2)的结果相等或相差很小，但随着摆角逐渐增大，两式的计算结果相差就越来越大了。这时用公式(1)计算其周期是比较精确的，这就符合了用公式(1)计算单摆周期时要使摆角小于5°的要求。实验的结果是总体偏大，在摆角为3°、4°度时，偏大了0.008 s，在更大摆角时偏大值就更大一些。我们认为，这个偏大是由于实验时是在空气中进行的，摆的摆动受到空气阻力的影响导致变慢了一些，如果去除这个影
响，在小摆角时其结果与公式(1)和公式(2)的结果就很接近了，但在大摆角时，其结果就更接近公式(2)的结果。因此，在小于5°的小摆角情况下，用公式(1)来计算是准确的，在大摆角时，就得用公式(2)来计算了。
2 摆长对周期的影响
根据前面分析可知，在摆角为5°以内的单摆最为理想，所以在分析摆长对单摆周期的影响时取θ0≤5°.现取g=9.8 m/s2，π=3.14，分别对多种摆长的摆分别用公式(1)和公式(2)计算其周期，所得结果如表2第二列和第三列所示，再用实验方法得到的结果如表2第四列所示。表2中的第五列是公式(2)的结果与公式(1)的结果的差，第六列是实验结果与公式(1)的结果的差。
从表2中可知，随着摆长的增大摆的周期也随之增大。公式(2)的结果与公式(1)的结果在各种摆长时均相差0.001 s，由这两个公式的关系也可得到此结果。实验结果在摆长为1.0 m时与公式(1)的结果更接近，另外在摆长较大时也与公式(1)的结果更接近，这就告诉我们，在做单摆实验时，通常用摆长1.0 m是合理的，得到的实验结果与理论结果相差较小。
3 摆锤大小对周期的影响
若摆的摆锤的半径为r，摆线长为l0，我们知道摆的摆长严格来说应为摆锤的半径与摆线长度之和，即l=r+l0.
现取摆角 θ0=5°，则有 T=1.000 471 901T0.若 g 取9.8 m/s2，π 取 3.14，摆长为 l0=1.0 m 保持不变。在不同的摆锤半径r下代入周期公式中进行计算。公式(1)的计算结
果和公式(2)计算的结果分别列于表3中的第三列和第四列，用实验方法测得的结果列于表3的第五列。表3中的第六列为公式(2)的结果与公式(1)的结果的差，第七列是实验结果与公式(1)的结果的差。
从表3可知，随着摆锤半径的增大，T0与T由于摆长l0保持不变并没有增大或减小，也就是说摆锤半径的改变对于周期的理论计算没有影响。但实验结果则随着摆锤半径的增大而增大，这是由于摆锤半径的增大，摆球在空气中摆动时阻力增大，使得周期变大。故在空气中做单摆实验时，摆锤的半径越小越好。
4 结论
通过以上对摆的周期的理论分析与实验研究，我们发现，摆的周期与摆角的大小、摆线的长度和摆捶半径有关。在摆角小于5°、摆长在1.0 m和摆锤半径较小时，并在忽略空气阻力的前提下，两种理论方法计算的结果与实验测量结果是一致的，这就说明在这样的情况下可以把摆当作单摆来处理，这种摆就是单摆，在计算其周期时就可以用单摆的周期公式来计算。
参考文献:
［1］漆安慎，杜婵英.力学(第2 版)［M］.北京:高等教育出版社，2005:2.
［2］谢翔东.单摆运动周期的近似解［J］.内蒙古农业大学学报，2003，24(4):110－112.
［3］中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典［M］.北京:商务印书
馆，1995:340.
［4］霍恩比.牛津高阶英汉双解词典(第4版)［M］.李北达，译.北京:商务印书馆，1997:318－319.
［5］罗勇锋，龚志强，李水.大幅度摆动单摆的高精度周期公式研究［J］.科技咨询导报，2007，(28):143－145.
［基金项目］广西高校精品课程(桂教高教〔2007〕111号)。
［责任编辑 刘景平］