2020年高中数学学业水平考试知识点总结(必修1-5)

2020年高中数学学业水平测试知识点

必修一 一、 集合与函数概念

并集：由集合A和集合B的 组成的集合，如果遇到重复的只取 。记作： 交集：由集合A和集合B的 组成的集合，如果遇到重复的只取 。记作： 补集：就是作差。

1、集合a1,a2,...,an的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真 子集有 个.

2、函数定义域：①整式函数为 ; ②分母不为 ；③开偶次方被开方数 ； ④对数的真数 .⑤零次幂的底数 。

3，函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的 性质。

4， 奇函数：是 ，函数图象关于 对称（若x0在其定义域内，则f(0)0）；

偶函数：是 ，函数图象关于 对称。 判断函数奇偶性的步骤：

（1）求函数的定义域，判断定义域是否关于 对称； （2）求f(-x)，若f(x)5、指数及指数函数：

（1）函数 叫做指数函数。

rs（2）指数的运算性质：①aa ； ②(a) ；

rsf(x)，则f(x)是 ；若f(x)f(x)，则f(x)是 。

③(ab) (a0,b0,r,sQ) ④a（3）指数函数的图象和性质

rn ；⑤a 。

mnyax 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 值域 性 质 定点 过定点（0，1），即x = 时，y = （1）a > 1，当x > 0时，y ；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y 。 在R上是 函数 在R上是 函数 单调性 对称性 yax和yax关于 轴对称 1

6、对数及对数函数：

（1）函数 叫对数函数。

（2）①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：loga10；③底同的对数等于1：logaa1， （3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：

①logaMN ； ②logaM ； N③logaM 。

n（4）换底公式：logab (a0且a1,c0且c1,b0) (5)对数函数的图象和性质：

ylogax 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 值域 性 质 （1）过定点 ，即x = 时，y = （2）在R上是 函数 （2）在R上是 函数 7、幂函数：函数 叫做幂函数（只考虑1,2,3,1,1的图象）。函数图象恒过点 28、方程的根与函数的零点：如果函数yf(x)在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 (a , b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个

c也就是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的 。

必修二

一、直线 平面 简单的几何体

1、长方体的体对角线长 ；正方体的体对角线长 2、球的体积公式： ； 球的表面积公式： 3、柱体、锥体、台体的体积公式：

2

V柱体= (S为底面积，h为柱体高)； V锥体= (S为底面积，h为柱体高) V台体= (S’, S分别为上、下底面积，h为台体高)

4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1）四公理三推论:

公理1：若一条直线上有 在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理2：经过不在 的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它 ，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共

点的 。

推论一：经过一条直线和这条 的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条 直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条 直线,有且只有一个平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线 . （2）空间线线，线面，面面的位置关系：

空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有 公共点；

平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异面直线——不同在任何 内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为 直线。 空间直线和平面的位置关系：

（1）直线在平面内（无数个公共点）；a （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；aA

（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，a//。 空间平面和平面的位置关系：

（1）两个平面平行——没有 ； （2）两个平面相交——有 。

5、直线与平面平行的判定定理：如果平面 一条直线与平面 一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

a符号表示：ba//。 图形表示：

a//bb

6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。即证明

两次线面平行。

3

符号表示：abP//。图形表示：

a//b//ab7、 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面 ，经过这条直线的平面与已知平面 ，那么交线与这条直线平行。

符号表示：aa//b。 图形表示：

ba//8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示：

、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。符号表示：

10、两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的 ，则这两个平面垂直。 符号表示：

11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 。

符号表示： 。

12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个

l,m,lml.平面。符号表示：

13、异面直线所成角： 到一起求平移后的夹角。

直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）

lP14、异面直线所成角的取值范围是 ；

直线与平面所成角的取值范围是 ； 二面角的取值范围是 ； 两个向量所成角的取值范围是 。

二、直线和圆的方程

H1、斜 率：ktan，k(,)（直线的倾斜角）；直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则斜率为 （斜率公式）

2、直线的五种方程 ：

（1）点斜式 ： (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ： (b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式： ( (P1(x1,y1)、P2(x2,y2)； (x1x2)、(y1y2)). (4)截距式： (a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0) （5）一般式： (其中A、B不同时为0).

4

3、两条直线的平行、重合和垂直： (1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1‖l2 ②l1与l2重合时 ； ③l1l2 .

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①l1||l2 ；②l1l2

4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│=

5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（ ， ）

6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为 ）Ax+By+C=0的距离公式d=

7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=

8、圆的方程：标准方程 ，圆心 ，半径为 ；

22圆的一般方程 ，（配方：(xD)2(yE)2DE4F）

224D2E24F0时，表示一个以 为圆心，半径为 的圆；

9、点与圆的位置关系：

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种： 若d(ax0)(by0)，则

22222dr点P在 ; dr点P在 ; dr点P在 . 10、直线与圆的位置关系：

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:（d为圆心到直线的距离s） dr相切0 d222r相离0

dr相交0. .

11、直线与圆相交所得弦长计算要用到垂径定理。

12、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：

│P1P2│=

必修三

算法初步与统计：

以下是几个基本的程序框流程和它们的功能 图形符号 名称 功能

表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 5

处理框（执行框） 判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N” 连接点 连接程序框（流程进行的方向） 连接程序框图的两部分 一、算法的三种基本结构：（1） （2） （3）

二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。 三．三种常用抽样方法：

1、 ；2． ；3． 。 4．统计图表：包括 ， ， 。

四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求 （即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定

频率与 ；（3）将数据分组；（4） 列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正

组距方形的面积= 。

2、频率分布直方图： 频率=小矩形面积（注意：不是小矩形的高度） 计算公式： 频率=频数样本容量 频数=样本容量频率 频率=小矩形面积=组距频率组距

各组频数和=样本容量，各组频率之和=1

3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端 ，就得到频率分布折线图。 4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。 在一组数据中出现次数 的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从 （或从小到大）排列，处在 位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，标准差，方差。 （1）极差一定程度上表明数据的 程度，对极端数据非常敏感。

（2）方差，标准差越大，离散程度越 。方差，标准差越小，离散程度越 ，聚集于平均数的程度越高。

6

（3）计算公式：

标准差： s

方差： s21[(xx)2(xx)212

n(xnx)2]ˆ，截距为aˆ= （此直线必过点（ ， ）ˆ，即回归方程为y直线回归方程的斜率为b）。

五、随机事件：随机事件的概率:0（1）互斥事件：不能 的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有 的两个事件叫做对立事件；

（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A 事件B（或事件B包含事件A）； （4）对立一定 ，互斥不一定 。 2、概率的加法公式：

（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）= （A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为 事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)= ，于是有P(A)=1—P(B)． 3、古典概型：

（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有 ；2）每个基本事件出现

的可能性 ；

（2）掌握古典概型的概率计算公式： P(A)事件A包含的基本事件个数实验中基本事件的总数m n4、几何概型：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 （ 或 ）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）几何概型的概率公式： P(A)事件A构成的区域的长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）

必修四

一、 三角函数

1、弧度制：（1）、180 弧度，1弧度= 5718； 弧长公式：l （l为所对的

7

ooo'

弧长，r为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。 2、三角函数： （1）、定义：

yxy 　　cos 　tan　　rrx3、特殊角的三角函数值： sin的角度 0 的弧度 sin cos 30 45 60 90 120 135 150 180 tan 24、同角三角函数基本关系式：sincos tan 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

2sin()cos()tan()sin(90)cos(90)sin(90)cos(90)

sin(180)

cos(360)cos(180)

tan(180) tan(360   ) sin(360 )sin(180) cos(360)cos(180) tan(360)tan(180)

6、两角和与差的正弦、余弦、正切：

S()：sin()

S()：sin()

sin(360)C()：cos(a) C()： cos(a) T()： tan() T()： tan()

7、辅助角公式：asinxbcosx

8

8、二倍角公式：（1）、S2： sin2 C2：cos2 = =

T2：tan2

（2）、降次公式：（多用于研究性质） sincos sin2 cos2

9、在ysin,ycos,ytan四个三角函数中只有ycos是偶函数，其它三个是奇函数。

10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调递增区间、单调递减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；

yAsin(x)b如：yAcos(x)b再求解。

yAtan(x)b

11、三角函数的图象与性质： 函数 图象 定义 域 y=sinx y=cosx y=tanx 值域 对称性 奇偶性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴： 周期性 单调性 9

最值 12．函数yAsinx的图象： （1）用“图象变换法”作图

： 由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“ ”与“ ”。

法一：先平移后伸缩

(0)或向右(0)ysinx向左ysin(x)平移||个单位

横坐标变为原来的  倍ysin（x） 纵坐标变为原来的A倍yAsin(x)纵坐标不变

法二：先伸缩后平移

横坐标变为原来的1倍横坐标不变

向左(0)或向右(0)ysinxysinxysin(x)纵坐标不变

A倍纵坐标变为原来的yAsin(x)横坐标不变平移||个单位

当函数yAsin(x)（A>0，0，x[0，)）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的 ；往复振动一次所需要的时间T ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f做 （即当x＝0时的相位）。 二、平面向量 1、平面向量的概念：

1 ，它叫做振动的频率； 叫做相位，叫T1在平面内，具有 和 的量称为平面向量．

2向量可用一条 来表示．有向线段的长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向量的 ．

，记作． 3向量的大小称为向量的 （或长度）4模（或长度）为0的向量称为 ；模为1的向量称为 ． 5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的 向量，记作 ． 6方向相同且模相等的向量称为 向量．

2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)= ;(2)第一分配律：(λ+μ)a = ;

(3)第二分配律：λ(ab)= .

3、向量的数量积的运算律：(1) a·b =b·a （交换律）;

10

c(2)（a）·b = （a·b）=a·b =a·（b）;(3)（ab）·= .

4、平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a = ．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 5、坐标运算：（1）设ax1,y1,bx2,y2，则ab ， 

数与向量的积：λax1,y1x1,y1，数量积：ab

（2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则ABx2x1,y2y1.（终点减起点） 6、平面两点间的距离公式：（1） dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2 2（2）向量a的模|a|：|a|aa ；

（3）、平面向量的数量积： ab ， 注意：0a ，0a0，a(a) （4）、向量ax1,y1,bx2,y2的夹角，则，

7、重要结论：（1）、两个向量平行： a//bab (R)，a//b （2）、两个非零向量垂直 ab

★法向量的计算

方法一：

cosx1x2y1y2x12y12x22y22已知AB(x1,y1,z1)，AC(x2,y2,z2),设面平ABC的一个法向量为

n(x,y,z)，由n⊥面ABC得所以：nAB,nAC ;

所以 n•AB0

n•AC0 即 xx2yy2zz20

xx1yy1zz10

上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z（或x或y）等于一个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。

立体几何中的向量方法

•P ------距离问题

一、求点到平面的距离 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； O2．还可以用等积法求距离；

3．向量法求点到平面的距离

11

在RtPAO中，

sind|AP|d|AP|sin•P

dn又sin|APn||AP||n| AOd （其中AP为斜向量，n为法向量）

二、直线到平面的距离 l 转化为点到线的距离：

•Pdd|APn|n|n|（其中AP为斜向量，n为法向量）

AO

三、平面到平面的距离

也是转化为点到线的距离：

•Pd|APn|d|n|（其中AP为斜向量，n为法向量）

n AO

四、异面直线的距离

如图，异面直线也是转化为点到线的距离：

a•Pdnd|APn||n|

bA（其中AP为两条异面直线上各取一点组成的向量，n是与a,b都垂直的向量）

立体几何中的向量方法

------空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角

设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的

cos|a•b|a||b||

（２）求线面角

12

角为

，则

设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，

则斜线l与平面所成的角为：则sin|cosl,n||

（３）求二面角

法一、在内al，在内bl，其方向如图，则二面角l的

平面角为

l•n| |l||n|，则cos

a•b

|a||b|法二、设n1,n2,是二面角l的两个半平面的法向量，则二面角l的平面角为，则=|cos||cosn1,n2||

必修五：

一、解三角形：（1）三角形的面积公式：S   ：

（2）正弦定理：

n1•n2|

|n1||n2|abc2R,边角互化：a ，b ，c sinAsinBsinCa2（3）、余弦定理： b2

c2（4）求角：

cosA ，cosB ，cosC 二. 数列

1、数列的前n项和：Sna1a2a3

； 数列前n项和与通项的关系：

a1S1(n1)anSnSn1(n2)2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数(anan1d)； （2）、通项公式：an （其中首项是a1，公差是d；）

13

（3）、前n项和：Sn =

（4）、等差中项： A是a与b的等差中项： 或2Aab

3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（q0）。

(anq)an1

（2）、通项公式：an （其中：首项是a1，公比是q）

na1,(q1)n（3）、前n项和： Sna1anqa1(1q),(q1)1q1q

Gb（4）、等比中项： G是a与b的等比中项：， 即 （或Gab，等比中项有两个）

aG

三：不等式

22ab22ab1、重要不等式：（1）a,bRab 或 (当且仅当a＝b时取“=”号)．

22、均值不等式：（2）a,bRabab2 或 ab()22(当且仅当a＝b时取“=”号)．一正、二定、三相等

注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0； 3、一元二次不等式的解法 判别式 0 0 0 b24ac 二次函数 yax2bxc （a0）的图象 一元二次方程 ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集

14

15